Baccalauréat Technologique

Terminale ST2S
Lyc´ee Jean Vilar
2013/2014
SESSION 2014
´at Technologique
Baccalaure
Sciences et Technologies de la Sant´e et du Social (ST2S)
´
Epreuve
: Math´
ematiques
Dur´ee de l’´epreuve : 2 heures
Coefficient : 3
Corrig´e
Exercice 1. On mesure la fr´equence d’un athl`ete courant sur un tapis roulant dont la vitesse peut
ˆetre modif´ee. Les r´esultats sont donn´es dans le tableau ci-dessous.
1.
Vitesse de course xi en km . h−1
12
13
14
15
16
17
18
Fr´equence cardiaque yi en battements par
minute (battements.min−1 )
128
134
139
145
150
156
163
a) Le nuage de points ci-dessous.
b) L’abscisse du point moyen est xG = 12+...+18
= 15 et son ordonn´ee yG = 128+...+163
= 145.
7
7
Ainsi, on note que le point moyen G(15; 145) appartient au nuage de points.
c) Pour tracer la droite d’ajustement affine, d´eterminons deux points sur cette droite. On a
5.7 × 10 + 59.5 = 116.5 et 5.7 × 20 + 59.5 = 173.5, donc A(10; 116.5) et B(20; 173.5) sont
sur la droite (D). Voir annexe pour le trac´e de la droite.
2. La fr´equence cardiaque maximale est le nombre maximal de battements que le coeur est en
mesure d’effectuer en une minute. Pour un individu d’ˆage N , cette fr´equence, habituellement
not´ee Fcmax , est donn´ee par Fcmax = 220 − N .
En utilisant l’ajustement affine pr´ec´edent,
a) on a 5.7 × 20 + 59.5 = 173.5, ainsi la fr´equence cardiaque de l’athl`ete pour une vitesse de
course de 20km . h−1 peut ˆetre estim´ee `a 174 battements par minutes ;
b) et sacchant qu’il a 35 ans, sa fr´equence cardiaque maximale est de 220−35 = 185 battements
par minutes. Notons x la vitesse jusqu’`a laquelle il pourra aller, alors on a 5.7 × x + 59.5 =
185. Ainsi la vitesse maximale est x = 185−59.5
' 22 km . h−1 .
5.7
1
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y
175
59
.5
B
=
5.
7
x
+
170
y
165
160
155
150
G
145
140
135
130
125
x
120
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
A
Exercice 2. Au d´ebut d’un effort physique, la consommation de glucose ´etant sup´erieure `a l’apport
d’oxyg`ene, l’organisme produit du lactate (aussi appel´e acide lactique) responsable, entre autres, de
crampes musculaires.
Ci-dessous sont repr´esent´ees les ´evolutions de la lactat´emie, c’est-`a-dire la concentration en lactate, en
millimoles par litre (mmol . L−1 ), en fonction de la vitesse de course, exprim´ee en km . h−1 , pour deux
individus.
Le premier P1, peu entraˆın´e, voit sa lactat´emie augmenter rapidement tandis que celle du second
individu P2, coureur de demi-fond, augmente moins rapidement.
La tangente `a la courbe de lactat´emie de P2 au point A de coordonn´ees (9; 4) est repr´esent´ee en
pointill´es. Cette droite passe par le point B de coordonn´ees (22; 8).
2
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y
30
(P1)
20
y
T :
10
−
.9x
=0
1.2
(P2)
B
8
C
A
4
x
0
4
8
9
12
16
18
20
24
Partie A Dans cette partie, on s’int´
eresse `
a la courbe repr´
esentative de lactat´
emie du coureur P2. On suppose que cette lactat´emie est mod´elis´ee par une fonction f d´efinie sur l’intervalle
[0; 20].
1. a) La vitesse `
a partir de laquelle la lactat´emie d´epasse 8 millimoles par litre est de
−1
18km . h .
b) la lactat´emie du coureur P2, s’il court `a une vitesse de 9 kilom`etres par heure est de 4
millimoles par litre.
2. Le nombre d´eriv´ee de la fonction f en 9 est le coefficient directeur de la tangente `a la courbe
au point A d’abscisse 9. D’o`
u:
f 0 (9) =
yB − yA
8−4
4
=
=
xB − xA
22 − 9
13
3. On admet que la fonction f est d´efinie par f (x) = 2 × 1.08x pour tout nombre r´eel x
appartenant `
a l’intervalle [0; 20].
a) L’in´equation qui permet de r´epondre, par le calcul, `a la question 1.a) est f (x) ≥ 8, soit
2 × 1.08x ≥ 8.
b) R´esolvons cette derni`ere in´equation sur l’intervalle [0; 20] : Notons que la base de
l’exponentielle 1.08 est sup´erieur `a 1, donc
2 × 1.08x
≥
x
≥
1.08x
≥
1.08
x ≥
x ≥
8
8
2
4
log(4)
log(1.08)
18.01
Ainsi, l’ensemble des solutions de l’in´equation contient l’intervalle [18; 20].
3
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Partie B On s’int´eresse `
a la courbe repr´esentant la lactat´emie du coureur P1. On admet que cette
courbe est la repr´esentation graphique de la fonction g d´efinie sur l’intervalle [0; 20] par
g(x) = 0.05x2 + 0.1x + 2
1. La fonction d´eriv´ee g 0 est d´efinie par g 0 (x) = 0.05 × 2x + 0.1 × 1 + 0 = 0.1x = 0.1.
2. On en d´eduit que g 0 (8) = 0.1 × 8 + 0.1 = 0.9. Ainsi, la tangente `a la courbe associ´e au
coureur P1 au point d’abscisse 8 passe par le point C de coordonn´ees (8; 6), car g(8) = 6,
et son coefficient directeur est 0.9 (moralement, lorsqu’on avance de 10 on monte de 9).
Voir le graphe pr´ec´edent.
Remarque : On aurait pu d´eterminer l’´equation de la tangente : y = g 0 (8)(x − 8) + g(8) pour
obtenir y = 0.9x − 1.2. Enfin, en d´eduire deux points sur la droite et la tracer.
Exercice 3 (QCM). Les questions sont ind´ependantes.
1. R´eponse C. La suite (un ) est une suite arithm´etique telle que u1 = −10 et u6 = 8. On sait que
u6 = (6 − 1) × r + u1 = 5r − 10 = 8. D’o`
u r = 8+10
5 ' 3.6.
` l’aide
2. R´eponse C. La suite (un ) est une suite arithm´etique de raison −15 et telle que u1 = 1000. A
de la calculatrice, en faisant une table, on note que u5 0 > 250 = u51 = −15 × (51 − 1) + 1000.
3. R´eponse A. On sait que la population d’une ville ´etait de 235 000 habitants le 1er janvier 2013
et que cette population augmente de 1.5% par an. Le 1er janvier 2020, une estimation de la
population de cette ville, arrondie `
a l’unit´e, sera de :
235 000 × (1 +
1.5 2020−2013
)
' 260 813.55 ' 260 814
100
4. R´eponse B. Soit (un ) une suite g´eom´etrique de raison 0.8, alors pour passer d’un terme au
suivant, on multiplie par 0.8. D’o`
u la formule en entrer dans la cellule F 2 est = A2 * 0.8.
5. Le tableau ci-dessous r´esume une partie des informations concernant les pratiques artistiques et
sportives de 400 ´el`eves d’un lyc´ee.
Nombre d’´el`eves ...
pratiquant une activit´e artistique
ne pratiquant par
d’activit´e artistique
Total
pratiquant un sport
90
150
240
ne pratiquant pas
de sport
90
70
160
Total
180
220
400
On choisit un ´el`eve de ce lyc´ee au hasard.
a) R´eponse C. La probabilit´e que l’´el`eve choisi pratique un sport et une activit´e artistique est
90
400 = 0.225.
b) R´eponse A. Sachant qu’un ´el`eve pratique un sport, la probabilit´e qu’il pratique une activit´e
90
artistique est 240
= 0.375.
c) R´eponse D. La probabilit´e qu’un ´el`eve de ce lyc´ee choisi au hasard pratique un sport ou un
activit´e artistique est 90+90+150
= 0.825.
400
4

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