proces-verbaux des reunions

MPSI du lyc´
ee Rabelais http://mpsi.saintbrieuc.free.fr
Vendredi 24 janvier 2014
´ N˚05
DEVOIR SURVEILLE
dur´
ee de l’´
epreuve 4 heures
LISEZ-MOI !
Le sujet est de longeur raisonnable et les exercices propos´es sont ultra classiques.
Comme d’habitude, prenez 10 minutes pour lire le sujet en entier, rep´erez les parties du
sujet qui vous semblent faciles
et d´ebutez par celles-ci !
´
ˆ
COMPOSITION DE L’EPREUVE
ET BAREME
APPROXIMATIF
EXERCICE 1 : M´
ethode de Newton
Mots-cl´es : fonction de classe C 2 , accroissements finis, et suite r´ecurrente . . . . ≈ 5 pt
´
EXERCICE 2 : Etude
d’une suite r´
ecurrente
Mots-cl´es : ´equivalents de fonctions, suites r´ecurentes monotones . . . . . . . . . . . . . ≈ 8 pt
´
EXERCICE 3 : Etude
d’une suite implicite
Mots-cl´es : bijection, suite monotone, d´eveloppement asymptotique . . . . . . . . . . . ≈ 6 pt
´
EXERCICE 4 : Equations
diophantiennes
Mots-cl´es : Euclide, Bezout, Diophante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ≈ 3 pt
Nb : l’utilisation des calculatrices est interdite.
1
EXERCICE 1 : M´
ethode de Newton
Soit a et b deux r´eels tels que a < b et f : [a, b] → R une fonction de classe C 2 sur [a, b].
On suppose en outre que :
• f (a) > 0 et f (b) < 0.
• f ′ est strictement n´egative sur [a, b],
• f ′′ > 0 sur [a, b],
´
Partie I. Etude
d’une fonction
1.
Montrez que l’´equation f (x) = 0 admet une unique solution dans ]a, b[, que l’on notera ℓ.
On introduit la fonction g : [a, b] → R d´efinie par ∀x ∈ [a, b], g(x) = x −
f (x)
.
f ′ (x)
3.
Montrez que g est de classe C 1 dans [a, b] et calculez sa d´eriv´ee.
´
Etudiez
les variations de g.
4.
Justifiez l’existence d’un couple (m, M) de r´eels strictement positifs tels que
2.
∀x ∈ [a, b], |f ′ (x)| ≥ m et |f ′′ (x)| ≤ M
5.
En appliquant successivement le th´eor`eme des accroissements finis `a g et `a f , ´etablissez
l’existence d’un r´eel L > 0 tel que
∀x ∈ [a, b], |g(x) − ℓ| ≤ L |x − ℓ|2
´
Partie II. Etude
d’une suite
Soit (un ) la suite r´ecurrente d´efinie par
• u0 = a
• ∀n ∈ N, un+1 = g(un)
1.
Montrez que la suite (un )n∈N est croissante et major´ee par ℓ.
2.
Montrez que la suite (un )n∈N converge vers ℓ.
` l’aide de la question Partie I.5, montrez qu’il existe K > 0 tel que :
A
2n
a−ℓ
∀n ∈ N, |un − ℓ| ≤ K
K
3.
´
EXERCICE 2 : Etude
d’une suite r´
ecurrente
´
Partie I. Etude
d’une fonction
Soit f : R+ → R, la fonction d´efinie par f (0) = 1 et ∀x > 0, f (x) =
1.
Montrez que f ainsi d´efinie est d´erivable sur R+⋆ .
2.
Montrez que f est continue en 0.
2
ln(1 + 2x)
− 1.
x
u2
, montrez que f
2
3.
En utilisant l’´equivalent, valide au voisinage de 0, ln(1 + u) − u ∼0 −
4.
est d´erivable en 0 et explicitez f ′ (0).
´
Etudiez
les variations de f .
Indication : vous pourrez ˆetre amen´es `a ´etudier la fonction x 7→ h(x) = x−(1+x) ln(1+x)
5.
Montrez que f s’annule en point α ∈ R+ , unique.
Nb : on admet que 1 < α < 2.
´
Partie II. Etude
d’une suite convergente de limite α
Soit (un )n∈N la suite d´efinie par la donn´ee de son premier terme u0 , strictement positif,
et la relation de r´ecurrence :
∀n ∈ N,
un+1 = ln(1 + 2un )
On note g : R+⋆ → R d´efinie par g(x) = ln(1 + 2x).
1.
V´erifiez que la suite (un ) est bien d´efinie.
2.
On suppose que (un ) est convergente. Quelles sont les limites possibles ?
´
Etudiez
les variations de x 7→ g(x) et le signe de x 7→ g(x) − x. Vous pr´esenterez
les r´esultats sous forme de tableau. Repr´esentez sur un mˆeme graphique, les courbes
repr´esentatives de g et de Id.
3.
4.a. On suppose dans cette question que u0 ∈]0, α[. Montrez que (un ) est `a valeurs dans ]0, α[.
Puis montrez que la suite (un ) est croissante et convergente vers α.
b. On suppose dans cette question que u0 ∈ [α, +∞[. Montrez, de mani`ere analogue que la
suite (un ) est aussi convergente vers α.
´
EXERCICE 3 : Etude
d’une suite d´
efinie implicitement
On d´esigne par n un entier naturel non nul et l’on se propose d’´etudier les racines (ou
solutions) de l’´equation
(En )
ln(x)+x = n
` cet effet, on introduit la fonction f d´efinie sur R+⋆ par ∀x > 0,
A
f (x) = ln(x)+x.
Partie I. Existence des racines de (En )
1.
´
Etudiez
les variations de la fonction f et repr´esentez sa courbe repr´esentative.
2.
Montrez que f r´ealise une bijection de R+⋆ sur R. D´eduisez-en que pour tout entier naturel
non nul n ∈ N⋆ , l’´equation (En ) admet une racine et une seule, que l’on note xn .
Ainsi, nous avons d´efini la suite (xn ) par
3.
• ln(xn ) + xn = n
• xn > 0
Montrez que la suite (xn )n∈N⋆ est strictement croissante.
3
4.
Donnez la valeur de x1 . On admet qu’une valeur approch´ee de x2 `a 10−2 pr`es est x2 ≈ 1, 55.
´
Partie II. Etude
de la convergence de la suite (xn )
1.
Montrez rapidement que ∀x ∈ R+⋆ ,
2.
3.
ln(x) < x.
n
´
Etablissez
l’encadrement ∀n ∈ N ,
≤ xn ≤ n.
2
Concluez quant `a l’existence d’une limite pour (xn )
⋆
Partie III. D´
eveloppement asymptotique de la suite (xn )
1.
Montrez que xn ∼ n.
n→∞
2.
D´eterminez la limite quand n tend vers +∞ de xn+1 − xn .
n − xn
3. On d´efinit pour tout entier naturel non nul n ∈ N⋆ , un =
.
ln n
ln(xn /n)
a. Montrez que ∀n ∈ N⋆ ,
un − 1 =
.
ln n
b. D´eterminez la limite de un lorsque n tend vers +∞.
1
c. Prouvez alors que 1 − un ∼ .
n→∞ n
4. D´eduisez-en que pour tout entier sup´erieur ou ´egal `a 2 :
ln n
ln n
xn = n − ln n +
+ o
n→∞
n
n
´
EXERCICE 4 : Equations
diophantiennes
1.
2.
D´eterminez 462 ∧ 3960 en d´ecomposant 462 et 3960 en produit de nombres premiers.
` l’aide de l’algorithme d’Euclide d´emontrez que 7 et 60 sont premiers entre eux. D´eterminez
A
un couple d’entiers (u, v) tel que u × 60 + v × 7 = 1.
3.
Montrez que l’´equation 462x + 3960y = 25 n’admet pas de solution dans Z2 .
4.
D´eterminez tous les couples d’entiers (x, y) ∈ Z2 tels que 462x + 3960y = −132.
Fin du sujet
4

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