TP no 9

SCILAB : TRAVAUX PRATIQUES 9
Chapitre 27 :
SCILAB : TRAVAUX PRATIQUES 9
ECE 1 - Grand Noum´ea - 2014
– Partie II - Vitesse de convergence (´etude empirique) –
1. Recopier le code de la fonction suivante :
DICHOTOMIE
Code Scilab
On rappelle ci-dessous un cas particulier d’application du th´eor`eme de la bijection continue :
function nb = nb_zeros (x)
nb = -1
n = 0
while (nb < 0)
if (abs (x) * 10ˆn >= 1) then
nb = n
end
n = n + 1
end
endfunction
Soit f une fonction v´erifiant les 3 hypoth`eses suivantes :
• f continue sur un intervalle [a, b] ;
• f strictement croissante sur [a, b] ;
• f (a) < 0 et f (b) > 0.
Alors l’´equation
f (x) = 0
admet une unique solution α ∈ [a, b].
Exercice 1 : Valeurs approch´ees de
√
puis tester cette fonction avec les nombres
2 par dichotomie
– Partie I - Valeur approch´ees de
√
20
2 par dichotomie –
On consid`ere la fonction polynˆome P d´efinie sur R par :
P(x) = x2 − 2.
a ) Montrer que l’´equation P(x) = 0 admet une unique solution α sur l’intervalle [0, 2].
b ) Calculer α.
2. Impl´ementer la fonction P en langage Scilab.
3. On consid`ere les deux suites (an )n∈N et (bn )n∈N d´efinies par :
1.
a0 = 0
∀n
0
si P
an + bn
2
∀n
0
si P
an + bn
2
et
<0
0 alors
an+1
bn+1
an+1
bn+1
an + bn
=
2
= bn
= an
an + bn
=
2
´
Ecrire
un programme Scilab permettant de calculer et d’afficher a10 et b10 .
4. On pose maintenant :
∀n ∈ N,
ε n = bn − an
Modifier le programme pr´ec´edent pour
√ e´ galement ε10 (l’erreur maximum th´eori√ qu’il affiche
que) ainsi que les diff´erences a10 − 2 et b10 − 2 (les erreurs « r´eelles »).
Combien de d´ecimales exactes a-t-on avec ces 10 it´erations ?
5. Reprendre la question pr´ec´edente, mais avec a20 , b20 et ε20 .
0, 2
0, 02
0, 002
0, 000 000 2
` quoi sert la fonction nb_zeros ?
A
´
2. Ecrire,
en langage Scilab, une boucle while permettant de d´eterminer combien il faut d’it´erations a` l’algorithme de dichotomie pour eˆ tre sˆur d’obtenir :
√
a ) 2 chiffres significatifs exacts de 2
√
b ) 5 chiffres significatifs exacts de 2
√
c ) 10 chiffres significatifs exacts de 2
√
d ) 15 chiffres significatifs exacts de 2
3. V´erifier les r´esultats pr´ec´edents par le calcul.
Exercice 2 : R´esolution approch´ee d’´equation par dichotomie
b0 = 2
alors
2
Le but de cet exercice est de d´eterminer, par dichotomie, une valeur approch´ee de l’unique solution
de l’´equation :
(E)
x3 + x + 1 = 0
1. Montrer que l’´equation (E) admet une unique solution α sur R. Montrer que α ∈ [−2, 0]
´
2. Ecrire
un programme Scilab permettant de d´eterminer, par dichotomie, une valeur approch´ee
de α a` 10−4 pr`es.
SOMMES DE RIEMANN
Exercice 3 : Une somme de Riemann
1
1
On consid`ere l’int´egrale I =
dt.
2
0 1+t
´
Ecrire
un programme Scilab permettant de calculer une valeur approch´ee de I par la m´ethode des
rectangles.

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