Exercices de Relativité et Temps Préparation au contrôle continu du

Master de Physique 1`
ere ann´
ee
Relativit´
e et temps
M.-Ch. Angonin, A. Bourgoin, Ch. Le Poncin-Lafitte et F. Pierret
2014-2015
Exercices de Relativit´
e et Temps
Pr´eparation au contrˆole continu du 6 Novembre 2014
Exercice 1 : Plaque de verre
Une plaque de verre d’´epaisseur propre e et d’indice de r´efraction n (les deux quantit´es sont
mesur´ees dans le r´ef´erentiel comobile) se d´eplace dans le r´ef´erentiel du laboratoire perpendiculairement `a elle-mˆeme `
a la vitesse v parall`ele `a Ox. Un ´eclair lumineux traverse le verre dans la direction
du mouvement et dans le mˆeme sens.
1. Dans le r´ef´erentiel de la plaque de verre, d´eterminer le temps mis par la lumi`ere pour traverser
le verre.
2. D´eterminer dans le r´ef´erentiel du laboratoire le temps mis par la lumi`ere pour traverser le
verre.
3. Dans le rep`ere du laboratoire, `
a quelle distance l’un de l’autre se trouvent les points o`
u la
lumi`ere est entr´ee dans le verre et o`
u elle est sortie ?
4. D´eduire des questions pr´ec´edentes l’indice n0 de la plaque mesur´e par un observateur dans le
r´ef´erentiel du laboratoire.
5. Retrouver ce r´esultat `
a partir des formules relativistes de composition des vitesses.
6. Que se passe-t-il si n = 1 ?
Exercice 2 : Hyp´
eron Σ−
Un hyp´eron Σ− d’´energie cin´etique T = 0, 25 GeV se d´esint`egre en un neutron et un m´eson π − :
Σ− → n + π −
On donne les ´energies de masses des particules :
mΣ c2 = 1197, 4 MeV, mn c2 = 939, 55 MeV, mπ c2 = 139, 6 MeV. Dans le r´ef´erentiel du laboratoire,
le vecteur impulsion du m´eson π fait un angle de π/2 avec la direction de la particule initiale.
1. Donner les quantit´es conserv´ees lors de cette d´esint´egration.
2. En d´eduire les ´energies cin´etiques Tn et Tπ des particules ´emergentes. Applications Num´eriques.
3. D´eterminer l’angle entre la direction de la particule initiale et le vecteur impulsion du neutron.
Applications Num´eriques.
Exercice 3 : Particules contenant des quarks charm´
es
Les anneaux de collisions entre un ´electron (e− ) et son anti-particule le positron (e+ ) ont permis
de mettre en ´evidence des particules contenant des quarks charm´es :
le ψ de masse m1 = 3097 MeV/c2 et le ψ 0 de masse m2 = 3686 MeV/c2 , par l’interm´ediaire des
r´eactions :
e+ + e− → ψ
e+ + e− → ψ 0
1. Expliquer quel est l’int´erˆet d’effectuer ces r´eactions en utilisant deux faisceaux de particules
poss´edant des impulsions oppos´ees ? Comment appelle-t-on alors le r´ef´erentiel du laboratoire ?
2. Quelles doivent ˆetre alors les ´energies cin´etiques minimales des e+ et des e− n´ecessaires pour
que chacune des deux r´eactions puissent avoir lieu ? Les masses de l’´electron et du positron
sont identiques et : me c2 = 0, 511 MeV
3. Pour chaque r´eaction, quelle est la vitesse des ´electrons et positrons ? On exprimera cette
vitesse sous la forme de β = vc en donnant l’´ecart entre β et la valeur 1.
La particule ψ 0 peut se d´esint´egrer au repos suivant la r´eaction :
ψ 0 → ψ + nπ + + nπ −
Les m´esons charg´es π + et π − ont une masse identique : mπ = 139, 6 MeV/c2 .
4. Quelle valeur maximale peut prendre n ? Pour la suite, on prendra n = 1.
5. Quelles sont les ´energies cin´etiques T+ et T− des m´esons π + et π − lorsque la particule ψ
produite est au repos ?
6. Lorsque la particule ψ produite n’est pas au repos, exprimer cosθ (θ ´etant l’angle entre les
directions de vol des deux m´esons produits) en fonction de l’´energie cin´etique T de la particule
ψ, T+ , T− et des ´energies de masse des particules.
Indication : on pourra exprimer les pseudo-normes des quadri-impulsions de chaque particule
individuellement et utiliser ce r´esultat dans une ´egalit´e concernant les impulsions.
Exercice 4 : Une ´
etoile en expansion relativiste
On s’int´eresse `
a diff´erents effets relativistes qui sont associ´es `a la r´eception du rayonnement ´emis
par une ´etoile en expansion ultra-relativiste (γ 1). Les r´esultats obtenus expliquent en partie les
propri´et´es surprenantes des sursauts gamma ( gamma ray bursts en anglais).
Un observateur O au repos dans un r´ef´erentiel R est situ´e `a une distance D d’une ´etoile dont il
re¸coit le rayonnement. On suppose que l’´etoile poss`ede une g´eom´etrie sph´erique et est en expansion
→
−
−
radiale `a la vitesse constante →
v = β c par rapport `a R. Enfin, on suppose que le centre C de l’´etoile
est immobile dans le r´ef´erentiel R de l’observateur et que la distance D est tr`es grande devant le
rayon de l’´etoile.
On ne s’int´eresse pas aux processus de l’´emission de photons. Pour simplifier, on supposera
que chaque point P de l’enveloppe externe de l’´etoile, rep´er´e par un angle θ dans R (voir Fig.
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??) et une distance r(t), ´emet un rayonnement quasi-monochromatique de pulsation ω 0 dans son
r´ef´erentiel propre, et ce dans tout le demi-espace ext´erieur. Pour les applications num´eriques, on
prendra γ = 100.
→
−
−
Dans le r´ef´erentiel li´e `
a P (on rappelle que P est en expansion `a la vitesse →
v ), on note n0 la
−
direction d’un rayon lumineux. Dans le r´ef´erentiel R, on note →
n cette direction. Enfin, on note α
→
−
→
−
→
−
→
−
0
0
(resp. α ) l’angle entre v et n (resp entre v et n ).
´
Figure 1 – Etoile
en expansion relativiste.
Questions pr´
eliminaires
1. D´eterminer, par m´ethode de son choix, la relation entre un intervalle de temps ∆t0 mesur´e par
un observateur dans un r´ef´erentiel au repos et l’intervalle de temps propre ∆τ correspondant
→
−
−
pour un point se d´epla¸cant `
a la vitesse constante →
v = β c par rapport au r´ef´erentiel de
→
−
l’observateur. On notera pour l’ensemble du probl`eme β la norme du vecteur β .
→
−
2. A un photon, on peut associer un quadrivecteur k µ = (ω/c, k ). Supposons qu’un observateur
O au repos dans le r´ef´erentiel R re¸coive le rayonnement issu d’un point P en mouvement par
→
−
−
rapport `
aR`
a la vitesse constante →
v = β c dans une direction que l’on choisira arbitrairement
comme l’axe Ox. On appelle R0 le r´ef´erentiel comobile avec le point P. D´eterminer les formules
de changement de r´ef´erentiel entre R et R0 des quatre composantes k µ .
A - Effets d’aberrations : effet phare relativiste
´
1. Ecrire
dans R, puis dans R0 , les composantes du quadrivecteur k µ en fonction de α, puis
0
de α . En appliquant les formules de changement de r´ef´erentiel, montrer la relation entre les
angles α et α0 est de la forme :
cos α0 + B
(1)
cos α =
1 + B cos α0
D´eterminer l’expression de B en fonction de β. Applications num´eriques : pour α0 =
exprimer α en fonction de β. Que vaut α si α0 = 0 ? α0 = π ?
π
2,
2. Tracer qualitativement α en fonction de α0 , dans la limite γ 1.
3. En supposant qu’il y ait sym´etrie axiale autour de l’axe OC, d´eduire que la partie visible de
l’´etoile par l’observateur lointain O est une calotte sph´erique, d’angle au sommet θ0 . Donner
l’expression de θ0 en fonction de β. En d´eduire que :
1
θ0 = arcsin
(2)
γ
Que devient cette expression dans le cas o`
u γ 1 ? Application num´erique.
Dans la suite du probl`eme, on notera Q un point de la sph`ere rep´er´e par l’angle θ = θ0 et M le
point de la sph`ere rep´er´e par l’angle θ = 0.
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B- Effet Doppler : d´
ecalage et ´
elargissement spectral
1. Pour une onde ´emise du point P rep´er´ee par l’angle θ, exprimer la p´eriode Φ d´etect´ee par l’observateur en fonction de la p´eriode ΦP ´emise par le point P dans le r´ef´erentiel de l’observateur,
en fonction de β et θ.
2. D´eterminer la relation entre la p´eriode ΦP et la p´eriode Φ0P dans le r´ef´erentiel du point P.
3. Montrer que l’expression de la pulsation ω re¸cue par l’observateur en fonction de la pulsation
propre ω 0 est de la forme :
ω0
(3)
ω= 0
A (1 − B0 cos θ)
Donner l’expression de A0 et B0 en fonction de γ et β.
4. Dans le cas o`
u γ 1, d´eterminer, pour une valeur de ω 0 fix´ee, les pulsations minimale ωmin et
maximale ωmax re¸cues par l’observateur en fonction de γ. Donner les valeurs de θ auxquelles
elles correspondent. Commenter.
5. Applications num´eriques : donner les valeurs num´eriques des longueurs d’ondes extrˆemes que
re¸coit l’observateur si λ0 = 500 nm.
C- Effets temporels : compression temporelle
On suppose qu’`
a l’instant t0 = 0, le rayon de l’´etoile vaut r0 et l’´etoile commence `a ´emettre, et
ce jusqu’`a l’instant t1 o`
u le rayon de l’´etoile vaut r1 .
1. On suppose que le point P ´emet `a l’instant t. D´eterminer l’instant T(θ, t) o`
u ce signal est
re¸cu par l’observateur en fonction de t et de la distance OP = D0 (θ, t).
[ est tr`es
2. En supposant que la taille de l’´etoile est tr`es petite devant la distance D, l’angle POC
0
faible. Exprimer D (θ, t) en fonction de D, r0 , β, θ et t. En d´eduire que :
T(θ, t) = t +
D r0 + βct
−
cos θ
c
c
(4)
3. Calculer T(θ0 , 0), T(θ0 , t1 ), T(0, 0) et T(0, t1 ).
4. D´eterminer l’expression de la dur´ee ∆T(θ) de r´eception du signal lumineux issu de P entre
les instants t0 = 0 et t1 en fonction de ∆t ≡ t1 − t0 = t1 , β et θ.
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