x ¡ 1 - SUUGAKU.JP

年番号
1
次の
にあてはまる最も適当な数または式を解答欄に記入しなさい．
(1) 多項式 f(x) = 5x3 ¡ 12x2 + 8x + 1 を x ¡ 1 で割ったときの商 g(x) は
g(x) =
ケ
であり，余りは
割ったときの余りは
さらに，定数
コ
サ
，
コ
2
次の各問に答えよ．
(1) 2 次方程式 3x2 + x + a = 0（ a は定数）の解が sin µ; cos µ のとき，
である．また，g(x) を x ¡ 1 で
sin3 µ + cos3 µ = ¡
である．
サ
，
シ
，
ス
氏名
を用いると，x につい
アイ
ウエ
である．
ての恒等式
(2) 2x = 3，3y = 5，xyz = 3 のとき，5z =
コ
サ
シ
ス
f(x)
=
+
+
+
4
4
3
2
x¡1
(x ¡ 1)
(x ¡ 1)
(x ¡ 1)
(x ¡ 1)
である．
(3) 関数 f(x) = (x ¡ 2)(x ¡ 1)(x + 1)(x + 2) は，0 5 x 5 2 の範囲にお
H
いて，x =
カ
で最大値
キ
をとり，x =
が成り立つ．
¡
(2) 点 O を中心とする半径 1 の円周上の 3 点 A，B，C が
コ
サ
ク
ケ
で最小値
をとる．
(4) 直線 y = mx + 4（ m は正の定数）が円 x2 + y2 = 36 によって切りとられ
C
シ
p
る弦の長さが 4 6 のとき，m =
である．
¡!
¡!
¡!
5OA + 6OB = ¡7OC
¡! ¡!
を満たすとする．このとき OA ¢ OB =
オ
セ
¡!
であり，jABj =
ある．また ÎACB の大きさを µ (0± 5 µ 5 180± ) とすると sin µ =
ス
で
ソ
(5)
タ
x6
を
x2
¡ x ¡ 3 で割ったときの余りはセソ x + タチである．
（東洋大学 2015 ）
である．
（慶應義塾大学 2015 ）
-1-
3
次の
4
に適する数または式を記入せよ．
以下の
にあてはまる式または数値を記入せよ．
(1) 8x3 ¡ 27y3 を因数分解すると
(1) 整式 P(x) は (x¡2)(x+3) で割ると余りは 5x¡2 であり，(x¡2)(x¡3)
ア
である．
で割ると余りは ¡x + 10 である．このとき，P(x) を (x + 3)(x ¡ 3) で割
(2) 関数 f(x) = x2 ¡ 4x + 5 (¡1 5 x 5 3) の最大値は
ると余りは (
である．
3+i
(3)
を a + bi の形にすると，a = エ
1 ¡ 2i
し，a; b は実数とし，i は虚数単位とする．
ア
)x + (
イ
) である．
ウ
である．また，数列 fbn g の初項 b1 から第 n 項までの和
Tn が Tn = 5n ¡ 1 のとき，一般項は bn =
，最小値は
ウ
(2) 初項が a1 = ¡24 で公差が 12 の等差数列 fan g の初項から第 n 項までの和
Sn は Sn =
イ
エ
，b =
オ
である．ただ
(4) 不等式 log3 (1 ¡ x) 5 log 1 (2x + 1) を満たす x の値の範囲は
である．このとき，初項
カ
で
3
が c1 = ¡1 で漸化式
ある．
(5) 日曜日から土曜日までのうち 3 つの曜日を選び，毎週それらの曜日に出勤
cn+1 = cn + Sn ¡ bn
(n = 1; 2; 3; Ý)
により定まる数列 fcn g の一般項は cn =
オ
することとする．出勤する曜日の選び方は全部で
れた図形の面積は
キ
カ
は
であり，直線 ` と曲線 C で囲ま
(4) 1 個のサイコロを 3 回投げる．出た目の最大値が 5 となる確率は
ケ
3 つの出た目の積が 2 の倍数であり，かつ 3 の倍数でない確率は
ク
で
である．
コ
ク
通りある．
（京都産業大学 2015 ）
である．
ある．出た目の最大値が 5，かつ最小値が 1 となる確率は
通りある．また，
2 日は連続して出勤するが，3 日は連続して出勤しないような曜日の選び方
である．
(3) 曲線 C : y = x2 ¡ 4x ¡ 5 と直線 ` : y = k の共有点の個数は 3 個であ
る．このとき，実数 k の値は k =
キ
で
ある．
（同志社大学 2015 ）
-2-
5
次の空欄ア∼ソに当てはまる数または式を記入せよ．
(1) x が 0 < x < 1 と x2 +
(2) 不等式 log5 #
1
= 3 を満たすとき，x3 の値は
x2
x+1
; + log5 (x ¡ 4) < 2 の解は
2
イ
ア
<x<
である．
p
(3) 3 sin µ ¡ cos µ > 1 (¡¼ < µ < ¼) を満たす µ の範囲は，
オ
エ
である．
ウ
<µ<
である．
(4) 3 次方程式 x3 + 3x2 ¡ 24x ¡ a = 0 が，異なる 3 つの実数解をもつような
定数 a の値の範囲は，カ < a < キである．
Z3
(5) 積分
x2 ¡ 1 dx の値はクである．
¡3
(6) 2 次不等式 ax2 ¡ 4x + b < 0 の解が ¡3 < x < 5 であるとき，定数 a は
であり，定数 b はコである．
¡
!
¡
!
(7) 2 つのベクトル a = (2; ¡1; 1) と b = (x ¡ 2; ¡x; 4) のなす角が 30±
ケ
のとき，x の値は
サ
である．
(8) 点 (x; y) が直線 2x + 3y = 4 の上を動くとする．4x + 8y が最小値をとる
とき，x; y の値は x =
シ
，y =
である．
ス
(9) 三角形 ABC の A における角度は 45± ，C における角度は 75± ，辺 AC の長
さが 6 であるとき，辺 BC の長さは
セ
である．
(10) 0; 1; 2; 3 の数字から選んで 4 桁の自然数を作るとき，同じ数字を何回用
いてもよいとすると，2 の倍数でない自然数は
ソ
個できる．
（立教大学 2011 ）
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