年 番号 1 次の空欄 ア ∼ シ 2 に当てはまる数または式を記入せよ． ; ア イ ) と (m; n) = ( ウ ; エ ) オ である． (3) 0 5 µ 5 ¼ の範囲で 4 cos µ ¡ sin µ = 1 が成り立つとき，tan µ の値は (4) 実数 x に関する不等式 22x ¡ 2x+1 ¡ 48 < 0 を解くと x < キ p p p p 3 4 6 (5) 3; 5; 7; 19 のうち，最小のものは ク である． カ に当てはまる数または式を記入せよ． イ である． (3) 全体集合 U = f1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9g の部分集合 A; B について，A \ B = f1; 3g， A [ B = f1; 2; 3; 6; 7; 8g であるとき，集合 A = ウ である．ただし，A は A の補集 合，B は B の補集合とする． である． (4) さいころを 4 回投げるとき，偶数の目がちょうど 2 回出る確率は である． エ ケ えるのは オ 時間後である．ただし，log10 2 = 0:301 とし，整数で答えよ． (6) 複素数 z = a + i について，z4 が実数となるとき，z4 のとりうる値は 通りある． (7) 食品 X，Y がある．食品 X は 100 g あたり 80 円で，栄養素 a を 4 mg，栄養素 b を 20 mg 含 む．食品 Y は 100 g あたり 60 円で，栄養素 a を 2 mg，栄養素 b を 60 mg 含む．栄養素 a を 8 mg 以上，栄養素 b を 80 mg 以上になるように食品 X，Y を混合するとき，費用を最小にす コ g と食品 Y を サ である． (5) ある細菌は 1 時間毎に分裂して個数が 2 倍になる．最初に 10 個あるとき，100 万個を初めて超 (6) 大中小の 3 個のさいころを同時に 1 回投げるとき，出た目の和が 7 になる場合の数は (8) S = ク f(x) を (x + 5)(x + 2)2 で割ると余りは (2) 方程式 x3 ¡ (3 + a)x2 + (2 + 3a)x ¡ 2a = 0 の異なる実数解が 2 個であるときの実数 a の値 るには食品 X を ∼ (2) 整式 f(x) を x + 5 で割ると余りが ¡11，(x + 2)2 で割ると余りが x + 3 となる．このとき， である． をすべて挙げると ア p ¡ ! ¡ ! ¡ ! ¡ ! ¡ ! ¡ ! ¡ ! ¡ ! ¡ ! ¡ ! (1) ベクトル a ; b ; c が，j a j = 5，j b j = 2，j a ¡ b j = 13，j c j = j a ¡ t b j の関係を ¡ ! 満たすとき，j c j の最小値は ア である．ただし，t は実数とする． (1) 2 つの自然数 m; n で等式 m2 ¡ n 2 = 15 を満たすのは， (m; n) = ( 次の空欄 氏名 g 混ぜればよい． カ である．ただし， a は実数であり，i は虚数単位とする． Z2 0 (7) 関数 f(x) が f (x) = 3x + 2 と f(x) dx = 4 をともに満たすとき，f(x) = 0 ある． 25 P (8) (2k ¡ 1)2 の値は ク キ で である． k=1 1 1 1 1 + + +Ý+ とするとき，S の値は 1¢2¢3 2¢3¢4 3¢4¢5 6¢7¢8 シ である． （ 立教大学 2016 ） （ 立教大学 2015 ） 3 次の空欄 ア ∼ シ 4 に当てはまる数または式を記入せよ． (1) 式 (2x + 3y + z)(x + 2y + 3z)(3x + y + 2z) を展開したときの xyz の係数は i x+2 (2) 実数 x; y が + = 0 を満たすとき，x = イ ，y = ウ 1 + xi y+i し，i は虚数単位とする． Z2 (3) 定積分 x x ¡ 1 dx を求めると エ である． 1 2 1 3 ¡2 ア である． である．ただ 次の空欄 ア ∼ に当てはまる数または式を記入せよ． サ (1) U = f1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9g を全体集合とする．A を 6 の正の約数がつくる部分集合と し，A の補集合を A とする．B を 9 の正の約数がつくる部分集合とし，B の補集合を B とする． A [ B の要素を書き並べて表すと ある． 1 5 Z ア であり，A \ B の要素を書き並べて表すと 2 < カ < キ である． の大小関係は オ x (5) 不等式 (log2 x)2 + log2 < 1 を満たす x の範囲は ク である． 2 (6) 半径 1 の円に内接する正 n 角形の周の長さは ケ である． (2) 等式 f(x) = ¡6x + 2 (7) 座標空間における 3 点 A(1; ¡1; 5)，B(4; 5; 2)，C(a; b; 0) が 一直線上にあるとき， (4) 2 進法で表された数 1101011(2) を 10 進法で表すと (4) 2 ; 3 ; 5 a= コ ，b = サ で イ ¡1 f(t) dt を満たす関数 f(x) は，f(x) = ウ である． (3) 2 次方程式 x2 + 2ax + a = 0 が x = ¡a を解として持つときの a の値をすべて求めると， a= エ である． オ である． (5) 複素数 x = a + bi (a > 0; b > 0) が x4 = ¡9 を満たすとき，定数 a = である． (8) 円 x2 + y2 = 1 と直線 y = kx + 2 (k > 0) が接するとき，その接点の座標は シ である． （ 立教大学 2015 ） カ ，b = キ である．ただし，i は虚数単位とする． (6) 0 5 µ 5 ¼ の範囲で cos 2µ ¡ cos µ = 0 を満たす µ をすべて求めると，µ = ク である． 5 1 (7) 不等式 ¡2 < log8 x < を解くと， < x < コ である．ただし ，空欄に入る 3 ケ 数は整数である． (8) p; q を実数とし，q > 4 とする．座標平面上の 4 点 A(p; q)，B(0; 4)，C(1; ¡1)，D(5; 3) ¡! ¡! を頂点とする平行四辺形 ABCD において DC と DA のなす角を µ とするとき，cos µ = サ である． （ 立教大学 2016 ） 5 次の空欄 ∼ ア ケ 6 に当てはまる数または式を記入せよ． 2 のとき，sin µ cos µ = ア ，sin3 µ + cos3 µ = イ である． 3 (2) 高さが 1 の円錐を，頂点から a の距離で底面に平行な面で上下 2 つに切断する．体積が 2 等分 (1) sin µ + cos µ = ア ∼ にあてはまる数または式を記入せよ． コ (1) 空間内の 3 点 A，B，C を A(0; 1; 1)，B(1; 0; 1)，C(2; 2; 0) とする．実数 p; q を用い ¡! ¡! ¡! ¡! ¡! ¡! て点 H を AH = pAB + qAC で定める．原点を O(0; 0; 0) として，OH が AB と AC の両方 に垂直であるとき，p = されるのは，a = ウ のときである． 20 P (3) (2k ¡ 7) の値は エ である． ア ，q = イ である． (2) 不等式 x + 3 < 5 x ¡ 1 を満たす実数 x の範囲は，x < k=5 (4) 多項式 (x¡1)(x¡2)(x¡3) を x¡4 で割った余りを A，(x¡2)(x¡3)(x¡4) を x¡1 で割っ た余りを B，(x ¡ 3)(x ¡ 4)(x ¡ 1) を x ¡ 2 で割った余りを C とすると，A + B + C = である． Z (5) 定積分 次の空欄 ウ または x > である． エ (3) 多項式 (x5 + 1)2 を x2 + x + 1 で割った余りを Ax + B とすると，定数 A と B は A = B= オ カ オ ， である． 1 log(a2n + a3n ) = キ である． n (5) 大中小の 3 つのサイコロをふって，出た目の和が 9 になる確率は ク である． Z ¼ 2 (6) 0 5 µ 5 ¼ のとき， cos(x ¡ µ) dx の最大値は ケ であり，最小値は コ (4) 0 < a < 1 のとき lim n!1 5 ¡2 x2 ¡ 9 dx の値は カ である． (6) 5 人の大人と 3 人の子どもが，円形のテーブルの周りに座る．子ども同士が隣り合わない座り 方は全部で キ である． 0 通りある．ただし，回転して一致するものは同じ座り方とみなす． （ 立教大学 2015 ） (7) 半透明のガラス板がある．光がガラス板 1 枚を通ると，その強さが 8 割に減る．光の強さが当 初の 1 割未満となるのは，ガラス板を 枚以上重ねたときである．ただし，必要であれば ク 7 log10 2 = 0:3010 を用いよ． (8) 1 周 300 m の池の周りを，A は徒歩で，B は自転車で，同じ地点から同時にスタートし，同じ 方向に回る．自転車が徒歩の 5 倍の速さで進むとき，B が池を 1 周したあと，A を初めて追い抜 く地点は，スタート地点から進行方向に ケ m 進んだ地点である． （ 立教大学 2016 ） 次の空欄 ア ∼ に当てはまる数または式を記入せよ． コ (1) 2 つの自然数 p; q が p2 + pq + q2 = 19 を満たすとき，p + q = ア である． (2) 0 5 µ < 2¼ のとき，sin2 µ + cos µ ¡ 1 の最大値は イ であり，最小値は ウ 1p 1p 1p 1p (3) S = + p + p +Ý+ p とすると，S の値は 1+ 5 5+ 9 9 + 13 45 + 49 ある． (4) 方程式 log p 2 (2 ¡ x) + log2 (x + 1) = 1 の解をすべて求めると，x = オ Z1 (5) 等式 f(x) = x2 + 3 f(t) dt を満たす関数は，f(x) = カ である． である． で エ である． 0 (6) 座標空間における 4 点 A(1; 0; 0)，B(0; 2; 0)，C(0; 0; 3)，D(x; 4; 5) が同一平面上に あるとき，x = キ である． (7) 3 次方程式 x3 ¡ x2 + ax + b = 0 の解の 1 つが 1 + i のとき，a = ク ，b = ケ であ る．ただし，a; b は実数とし，i は虚数単位とする． (8) 三角形 ABC の辺の長さが AB = 4，BC = 5，CA = 6 のとき，三角形 ABC の面積は コ である． （ 立教大学 2015 ） 8 次の空欄 Z ア ∼ コ 9 に当てはまる数または式を記入せよ． 4 14 (x2 + ax + 2) dx = を満たす a の値は ア である． 3 2 p ¼ (2) 0 5 µ 5 のとき，cos µ + 3 sin µ の最大値は イ であり，最小値は ウ である． 2 2 (3) 実数 x が 0 < x < 1 かつ (log2 x) + log2 x ¡ 6 = 0 を満たすとき，x の値は エ である． (1) (4) 3 次方程式 (x ¡ 1)(x2 + ax + a + 2) = 0 が 2 重解をもつとき，a の値をすべて求めると， オ である． 1 1 + = a + bi と表すとき，a = 2+i 3 + 4i である．ただし，i は虚数単位とする． (5) 実数 a; b を用いて カ であり，b = (6) 3 つのさいころを同時に投げるとき，ちょうど 2 つのさいころが同じ目になる確率は キ ク で ア (7) ベクトル (2; a; b) が 2 つのベクトル (1; ¡1; 3)，(¡2; 1; 1) に垂直であるとき，(a; b) = である． ∼ ス に当てはまる数または式を記入せよ． (1) x2 ¡ y2 ¡ z2 + 2yz を因数分解すると， ア となる． 1 のとき，sin µ cos µ の値は (2) sin µ ¡ cos µ = イ である． 2 (3) 3 次方程式 4x3 ¡ 23x + 39 = 0 の解は，x = ウ ， エ ， (4) 関数 f(x) = 4x + 4¡x ¡ 3(2x + 2¡x ) + 2 の最小値は キ である． であり，最小のものは ケ で (7) 2 次方程式 x2 + px + q = 0 の 2 つの解を ®; ¯ とする．® ¡ ¯ = ¡4，®3 ¡ ¯3 = ¡28 であ コ または サ ，q = シ である． (8) 1 個のさいころを 2 回続けて投げるとき，1 回目に出た目より大きい目が 2 回目に出る確率は ス である． (8) 底辺の長さが a，高さが b の三角形が 2a + b = 6 を満たすとき，三角形の面積の最大値は コ である． オ である． カ (5) 数列 1; 3; 6; 10; 15; 21; Ý の第 n 項を n の式で表すと B 4 1 log5 27; log125 9; log5 27 のうち最大のものは ク (6) 2 ある． るとき，p = ある． ケ 次の空欄 （ 立教大学 2014 ） である． （ 立教大学 2015 ） 10 次の空欄 ア ∼ コ に当てはまる数または式を記入せよ． (1) 1 でない実数 a に対し，f(x) = x3 + ax2 + x + 1，g(x) = x3 + x2 + x + a とする．方程式 f(x) = 0 と g(x) = 0 がただ 1 つの共通解をもつならば，a = すべての解は イ ア であり，f(x) = 0 の である． p (2) x > 0 のとき，f(x) = e¡ 3x sin x の最大値は ウ であり，最小値は エ である． p 1 3 (3) z = + i とするとき，z2014 = オ + カ i である．ただし，i は虚数単位とする． 2 2 (4) a; b を 2 から 9 までの自然数とするとき，a; b の組 (a; b) は 64 通りあるが，そのうち loga b が整数となるのは キ 通りであり，整数でない有理数となるのは ク 通りである． ¡ ! ¡ ! ¡ ! ¡ ! ¡ ! ¡ ! 1 (5) ベクトル a ; b は，j a j = j b j = 1 かつ a ¢ b = を満たす．このとき，ベクトル 3 ¡ ! ¡ ! ¡ ! ¡ ! ¡ ! ! ¡ ! 5 ¡ c =pa +q b が a ¢ c = ， b ¢ c = ¡3 を満たすならば，p = ケ ，q = コ 3 である．ただし，p; q は実数とする． （ 立教大学 2014 ） 11 次の空欄 ア ∼ サ 12 次の空欄 に当てはまる数または式を記入せよ． (1) (log3 x)(log3 9x) ¡ 6 log9 x ¡ 6 = 0 を満たす x の値をすべて求めると， ア である． (2) 座標平面上に点 A(1; 1)，B(3; 7)，C(¡1; 5) がある．このとき，点 C を通り直線 AB と直 交する直線の方程式は y = イ である． (3) 実数 x が方程式 (1 + i)x2 ¡ (5 + i)x + 6 ¡ 2i = 0 を満たすとき，x = し，i は虚数単位とする． p ¼ とする．tan µ = 7 のとき，sin µ = エ である． (4) 0 < µ < 2 (5) 3 つのさいころを同時に投げたとき，出た目の最小値が 5 となる確率は ウ である．ただ オ である． y = P(x) は x = 1 で極値をとる．このとき，a = カ ，b = キ ，c = p ¡ ! ¡ ! ¡ ! ¡ ! ¡ ! ¡ ! (7) j a j = 2，j b j = 3，j a + b j = 5 のとき， a ¢ b = ケ である． ク 5k5 サ コ である． ， に「真」または「 偽」のいずれかを記入せよ．また空欄 イ ∼ ウ に当てはまる数または式を記入せよ． (1) 実数 a; b について，命題「 ab = 0 ならば b = 0 である」の逆は ア であり，裏は イ である． p 1 1 5¡1 のとき，x2 + 2 = ウ ，x4 + 4 = エ と，いずれも整数で表せる． (2) x = p x x 5+1 (3) すべての実数 x について 2 次不等式 x2 ¡ 2(k + 1)x + 2k2 > 0 が成立するような実数 k の範 囲は (6) 整式 P(x) = x3 + ax2 + bx + c は x2 ¡ 3x + 2 で割ったときの余りが ¡2x + 7 であり，関数 (8) 直線 y = 2x + k が円 x2 ¡ 2x + y2 = 0 と共有点をもつとき， サ ア オ である． (4) 1 から 4 までの数字が 1 つずつ書かれたカード をそれぞれ 2 枚用意する．この 8 枚のカード か ら 6 枚を同時に引き，その中で最大の数を X とするとき，X の期待値は カ である． p (5) 0 5 µ 5 ¼ のとき， 3 cos µ + sin µ の最大値は キ であり，最小値は ク である． 9 (6) 方程式 log 1 x2 + log2 x 2 + log4 x¡1 = 4 を満たす x の値は ケ である． 2 である． （ 立教大学 2014 ） (7) 等差数列をなす 3 つの数がある．これらの和が 1 で，平方の和が 11 であるとき，3 つの数は 24 である． ¡ ! ¡ ! ¡ ! ¡ ! ¡ ! ¡ ! (8) ベクトル a = (1; x)， b = (2; ¡1) について， a + b と 2 a ¡ 3 b が垂直であるときの コ x の値をすべて求めると， サ である． （ 立教大学 2014 ）
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