(3) 関数 f(x)=(x ¡ 2)(x ¡ 1)(x + 1)

年番号
1
2
次の各問に答えよ．
(1) 2 次方程式 3x2 + x + a = 0（ a は定数）の解が sin µ; cos µ のとき，
sin3 µ + cos3 µ = ¡
アイ
オ
である．
(4) 直線 y =
で最大値
(5)
を
x2
キ
をとり，x =
ア
+
イ
C
ク
ケ
2
) であり，
ウ
1
1
+ B
=
p
p
36 + 2 155
36 ¡ 2 155
エ
オ
カ
キ
で最小値
(2) 放物線 y = 4x2 ¡ 4kx + 5k2 + 19k ¡ 4 が x 軸の負の部分および正の部分
と交わるような k の範囲は ¡
ケ
<k<
ク
である．この範囲で
コ
k が動くとき，放物線 y = 4x2 ¡ 4kx + 5k2 + 19k ¡ 4 が切り取る x 軸上
C
mx + 4（ m は正の定数）が円 x2
p
る弦の長さが 4 6 のとき，m =
x6
にあてはまる 0 から 9 までの数字
である．
をとる．
サ
までの
C
(3) 関数 f(x) = (x ¡ 2)(x ¡ 1)(x + 1)(x + 2) は，0 5 x 5 2 の範囲にお
H
コ
ネ
ウエ
(2) 2x = 3，3y = 5，xyz = 3 のとき，5z =
カ
から
を記入せよ．
B
いて，x =
ア
C
p
(1) 36 + 2 155 = (
である．
¡
次の
氏名
C
シ
ス
+ y2
= 36 によって切りとられ
である．
¡ x ¡ 3 で割ったときの余りはセソ x + タチである．
の線分の長さの最大値は
サ
シ
ス
である．
セ
(3) 3 桁の整数で 3 の倍数は，全部で
ソ
タ
チ
個ある．3 桁の整数で各
位の数の和が k であるものの個数を n(k) とする（たとえば，3 桁の整数で各
位の数の和が 2 であるものは 101，110，200 の 3 個であるから，n(2) = 3 であ
る）．このとき，n(3) =
ツ
，n(27) =
テ
，n(24) =
であり，n(6)+n(9)+n(12)+n(15)+n(18)+n(21) =
である．
ニ
ト
ナ
ヌ
ネ
3
次の空欄
ア
∼
4
に当てはまる数または式を記入せよ．
コ
(1) 2 つの自然数 p; q が p2 + pq + q2 = 19 を満たすとき，p + q =
(1) 2 次方程式 x2 + kx + k + 8 = 0 が異なる 2 つの実数解 ®，¯ をもつとす
(2) 0 5 µ < 2¼ のとき，sin2 µ + cos µ ¡ 1 の最大値は
ウ
イ
であり，最小
1p
1p
1p
1p
+ p
+ p
+Ý+ p
とすると，S
1+ 5
5+ 9
9 + 13
45 + 49
の値はエである．
(4) 方程式 log p 2 (2¡x)+log2 (x+1) = 1 の解をすべて求めると，x =
である．
(5) 等式 f(x) = x2 + 3
Z
0
f(t) dt を満たす関数は，f(x) =
カ
キ
である．
である．
(7) 3 次方程式 x3 ¡ x2 + ax + b = 0 の解の 1 つが 1 + i のとき，a =
イ
ク
，
(8) 三角形 ABC の辺の長さが AB = 4，BC = 5，CA = 6 のとき，三角形
である．
である．
ウ
で
(2) xyz 空間の A(1; 0; 0)，B(¡1; 0; 0)，C(0;
p
3; 0) を 3 頂点とする三
である．また 4 頂点において正四面体 ABCD に外接する球
¡! ¡!
の中心 E の座標はオであり，EA と EB のなす角を µ (0± 5 µ 5 180± )
エ
とすると cos µ =
カ
である．
(3) n を自然数とする．白玉 5 個と赤玉 n 個が入っている袋から同時に玉を 2
である．ただし，a; b は実数とし，i は虚数単位とする．
コ
または k >
ある．
の座標は
1
が同一平面上にあるとき，x =
ABC の面積は
ア
角形を底面にもち，z = 0 の部分にある正四面体 ABCD を考える．頂点 D
オ
(6) 座標空間における 4 点 A(1; 0; 0)，B(0; 2; 0)，C(0; 0; 3)，D(x; 4; 5)
ケ
る．このとき，定数 k の値の範囲は k <
さらに，このとき ®2 + ¯2 = 19 となるような定数 k の値は k =
である．
(3) S =
b=
にあてはまる最も適当な数または式などを解答欄に記入しな
さい．
ア
である．
値は
次の
個取り出すとき，取り出した玉の色が異なる確率を pn とする．このとき
1
pn = キである．また pn 5
となる最小の自然数 n は n =
ク
5
である．
5
次の
6
に適する数または式を記入せよ．
(1) 整式 P(x) は (x¡2)(x+3) で割ると余りは 5x¡2 であり，(x¡2)(x¡3)
で割ると余りは ¡x + 10 である．このとき，P(x) を (x + 3)(x ¡ 3) で割
ると余りは (
ア
)x + (
イ
) である．
(2) 初項が a1 = ¡24 で公差が 12 の等差数列 fan g の初項から第 n 項までの和
Sn は Sn =
ウ
である．また，数列 fbn g の初項 b1 から第 n 項までの和
Tn が Tn = 5n ¡ 1 のとき，一般項は bn =
エ
である．このとき，初項
が c1 = ¡1 で漸化式
∼
サ
に当てはまる数または式を記入せよ．
(1) 0 5 µ 5 ¼ の範囲で，cos2 µ + sin µ cos µ = 0 を満たす µ をすべて求める
とµ=
である．
ア
(2) 10 本のくじのうち当たりくじは n 本である．同時に 2 本のくじを引いたと
1
き，2 本ともはずれである確率は
であった．このとき，n =
イで
15
ある．
(3) AB = 20，BC = 24，AC = 16 である三角形 ABC において，ÎA の二等
である．
¡
!
¡! ¡!
(4) 頂点が反時計回りに ABCDEF である正六角形について，FB = aAB+bAC
(n = 1; 2; 3; Ý)
により定まる数列 fcn g の一般項は cn =
オ
と表したとき，a =
る．このとき，実数 k の値は k =
キ
カ
であり，直線 ` と曲線 C で囲ま
，b =
である．ただし，a と b は実数と
オ
(5) (3 + i)(x + yi) = 6 + 5i を満たす実数 x; y を求めると，x =
y=
キ
カ
，
である．ただし，i は虚数単位とする．
(6) 直線 ` に関して点 (3; 2) と対称な点は (1; 4) である．このとき，直線 `
である．
(4) 1 個のサイコロを 3 回投げる．出た目の最大値が 5 となる確率は
ある．出た目の最大値が 5，かつ最小値が 1 となる確率は
エ
ウ
する．
である．
(3) 曲線 C : y = x2 ¡ 4x ¡ 5 と直線 ` : y = k の共有点の個数は 3 個であ
ケ
3 つの出た目の積が 2 の倍数であり，かつ 3 の倍数でない確率は
ある．
ア
分線が BC と交わる点を D とする．このとき，BD =
cn+1 = cn + Sn ¡ bn
れた図形の面積は
次の空欄
ク
で
である．
コ
で
の方程式を ax + by = 1 とすると，a =
(7) 975 の正の約数の個数は
ク
，b =
ケ
である．
個である．
Zx
(8) ¡1 5 x 5 5 の範囲で，関数 f(x) =
(t2 ¡ 2t ¡ 3) dt が最小値をとる
のは x =
サ
コ
のときである．
¡3

Download Report