(x ¡ 2)(x ¡ 1)(x + 1)(x + 2)

年番号
1
2
次の各問に答えよ．
(1) 2 次方程式 3x2 + x + a = 0（ a は定数）の解が sin µ; cos µ のとき，
sin3 µ + cos3 µ = ¡
アイ
オ
である．
(4) 直線 y =
で最大値
(5)
を
x2
キ
をとり，x =
ア
+
イ
C
ク
ケ
2
) であり，
ウ
1
1
+ B
=
p
p
36 + 2 155
36 ¡ 2 155
エ
オ
カ
キ
で最小値
(2) 放物線 y = 4x2 ¡ 4kx + 5k2 + 19k ¡ 4 が x 軸の負の部分および正の部分
と交わるような k の範囲は ¡
ケ
<k<
ク
である．この範囲で
コ
k が動くとき，放物線 y = 4x2 ¡ 4kx + 5k2 + 19k ¡ 4 が切り取る x 軸上
C
mx + 4（ m は正の定数）が円 x2
p
る弦の長さが 4 6 のとき，m =
x6
にあてはまる 0 から 9 までの数字
である．
をとる．
サ
までの
C
(3) 関数 f(x) = (x ¡ 2)(x ¡ 1)(x + 1)(x + 2) は，0 5 x 5 2 の範囲にお
H
コ
ネ
ウエ
(2) 2x = 3，3y = 5，xyz = 3 のとき，5z =
カ
から
を記入せよ．
B
いて，x =
ア
C
p
(1) 36 + 2 155 = (
である．
¡
次の
氏名
C
シ
ス
+ y2
= 36 によって切りとられ
の線分の長さの最大値は
サ
シ
である．
セ
(3) 3 桁の整数で 3 の倍数は，全部で
である．
ス
ソ
タ
チ
個ある．3 桁の整数で各
位の数の和が k であるものの個数を n(k) とする（たとえば，3 桁の整数で各
¡ x ¡ 3 で割ったときの余りはセソ x + タチである．
（東洋大学 2015 ）
位の数の和が 2 であるものは 101，110，200 の 3 個であるから，n(2) = 3 であ
る）．このとき，n(3) =
ツ
，n(27) =
テ
，n(24) =
であり，n(6)+n(9)+n(12)+n(15)+n(18)+n(21) =
ニ
ト
ナ
ヌ
ネ
である．
（大同大学 2014 ）
3
4
次の空欄ア∼ソに当てはまる数または式を記入せよ．
(1) x が 0 < x < 1 と x2 +
(2) 不等式 log5 #
1
= 3 を満たすとき，x3 の値は
x2
x+1
; + log5 (x ¡ 4) < 2 の解は
2
イ
ア
<x<
である．
p
(3) 3 sin µ ¡ cos µ > 1 (¡¼ < µ < ¼) を満たす µ の範囲は，
オ
である．
ウ
エ
<µ<
(4) 3 次方程式 x3 + 3x2 ¡ 24x ¡ a = 0 が，異なる 3 つの実数解をもつような
定数 a の値の範囲は，カ < a < キである．
Z3
(5) 積分
x2 ¡ 1 dx の値はクである．
¡3
(6) 2 次不等式 ax2 ¡ 4x + b < 0 の解が ¡3 < x < 5 であるとき，定数 a は
であり，定数 b はコである．
¡
!
¡
!
(7) 2 つのベクトル a = (2; ¡1; 1) と b = (x ¡ 2; ¡x; 4) のなす角が 30±
ケ
サ
シ
，y =
ア
)x + (
イ
) である．
(2) 初項が a1 = ¡24 で公差が 12 の等差数列 fan g の初項から第 n 項までの和
Sn は Sn =
ウ
である．また，数列 fbn g の初項 b1 から第 n 項までの和
Tn が Tn = 5n ¡ 1 のとき，一般項は bn =
セ
(10) 0; 1; 2; 3 の数字から選んで 4 桁の自然数を作るとき，同じ数字を何回用
ソ
である．このとき，初項
が c1 = ¡1 で漸化式
cn+1 = cn + Sn ¡ bn
(n = 1; 2; 3; Ý)
により定まる数列 fcn g の一般項は cn =
オ
である．
(3) 曲線 C : y = x2 ¡ 4x ¡ 5 と直線 ` : y = k の共有点の個数は 3 個であ
れた図形の面積は
キ
カ
であり，直線 ` と曲線 C で囲ま
である．
ある．出た目の最大値が 5，かつ最小値が 1 となる確率は
ケ
3 つの出た目の積が 2 の倍数であり，かつ 3 の倍数でない確率は
である．
いてもよいとすると，2 の倍数でない自然数は
エ
(4) 1 個のサイコロを 3 回投げる．出た目の最大値が 5 となる確率は
である．
ス
(9) 三角形 ABC の A における角度は 45± ，C における角度は 75± ，辺 AC の長
さが 6 であるとき，辺 BC の長さは
で割ると余りは ¡x + 10 である．このとき，P(x) を (x + 3)(x ¡ 3) で割
る．このとき，実数 k の値は k =
である．
(8) 点 (x; y) が直線 2x + 3y = 4 の上を動くとする．4x + 8y が最小値をとる
とき，x; y の値は x =
に適する数または式を記入せよ．
(1) 整式 P(x) は (x¡2)(x+3) で割ると余りは 5x¡2 であり，(x¡2)(x¡3)
ると余りは (
である．
のとき，x の値は
次の
個できる．
（立教大学 2011 ）
ク
で
である．
コ
で
ある．
（同志社大学 2015 ）
5
次の
にあてはまる最も適当な数または式などを解答欄に記入しな
さい．
次の空欄
ア
∼
に当てはまる数または式を記入せよ．
コ
(1) 2 つの自然数 p; q が p2 + pq + q2 = 19 を満たすとき，p + q =
(1) 2 次方程式 x2 + kx + k + 8 = 0 が異なる 2 つの実数解 ®，¯ をもつとす
る．このとき，定数 k の値の範囲は k <
ア
または k >
イ
さらに，このとき ®2 + ¯2 = 19 となるような定数 k の値は k =
である．
ウ
で
ある．
ア
である．
(2) 0 5 µ < 2¼ のとき，sin2 µ + cos µ ¡ 1 の最大値は
値は
ウ
イ
であり，最小
である．
1p
1p
1p
1p
+ p
+ p
+Ý+ p
とすると，S
1+ 5
5+ 9
9 + 13
45 + 49
の値はエである．
(3) S =
(2) xyz 空間の A(1; 0; 0)，B(¡1; 0; 0)，C(0;
p
3; 0) を 3 頂点とする三
角形を底面にもち，z = 0 の部分にある正四面体 ABCD を考える．頂点 D
の座標は
6
(4) 方程式 log p 2 (2¡x)+log2 (x+1) = 1 の解をすべて求めると，x =
である．また 4 頂点において正四面体 ABCD に外接する球
¡! ¡!
の中心 E の座標はオであり，EA と EB のなす角を µ (0± 5 µ 5 180± )
(5) 等式 f(x) = x + 3
とすると cos µ =
(6) 座標空間における 4 点 A(1; 0; 0)，B(0; 2; 0)，C(0; 0; 3)，D(x; 4; 5)
エ
カ
である．
(3) n を自然数とする．白玉 5 個と赤玉 n 個が入っている袋から同時に玉を 2
個取り出すとき，取り出した玉の色が異なる確率を pn とする．このとき
1
pn = キである．また pn 5
となる最小の自然数 n は n =
ク
5
である．
（慶應義塾大学 2015 ）
である．
オ
2
Z
1
0
f(t) dt を満たす関数は，f(x) =
が同一平面上にあるとき，x =
キ
カ
である．
(7) 3 次方程式 x3 ¡ x2 + ax + b = 0 の解の 1 つが 1 + i のとき，a =
b=
ケ
である．
ク
，
である．ただし，a; b は実数とし，i は虚数単位とする．
(8) 三角形 ABC の辺の長さが AB = 4，BC = 5，CA = 6 のとき，三角形
ABC の面積は
コ
である．
（立教大学 2015 ）

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