ex ¡ ae¡x 2 1 Bx2 + c2

1
次の問いに答えよ．
ex ¡ ae¡x
の逆関数 f¡1 (x) を求めよ．
2
(2) (1) で求めた f¡1 (x) の導関数を求めよ．
1
(3) c を正の定数とする．x 軸，y 軸，直線 x = c および曲線 y = B
で囲まれる部
2
x + c2
分の面積を求めよ．
(1) a を正の定数とする．関数 f(x) =
（広島大学 2016 ）
-1-
2
座標平面において，極方程式 r = 2 cos µ で表される曲線を C とし，C 上において極座標
B
¼
;，(2; 0) である点をそれぞれ A，B とする．また，A，B を通る直線を ` と
が # 2;
4
し，A を中心とし，線分 AB を半径にもつ円を D とする．
(1) 曲線 C は直交座標において点 (
;
ア
(2) 直線 ` の極方程式は r cos %µ ¡
¼
エ
D
(3) 円 D の極方程式は r =
カ
キ
) を中心とし，半径が
D
==
オ
である．
イ
cos %µ ¡
¼
ク
ウ
の円を表す．
= である．
（金沢工業大学 2015 ）
-2-
3
次の問いに答えよ．
(1) r を r < 1 である実数とする．自然数 n に対して
Sn = 1 + 2r + 3r2 + Ý + nrn¡1
とおく．
S = lim Sn
n!1
を r の式で表せ．ただし r < 1 のとき lim nrn = 0 であることを用いてよい．
n!1
(2) n を自然数とする．2 人の弓道部員 A，B が矢を的に命中させる確率は，A が
4
，B が
5
1
である．A，B が的に向かってそれぞれ n 回ずつ矢を射る．
2
‘ n = 1 のとき，A の射る矢が命中する確率を p1 とし，A の射る矢が命中せずに B の
射る矢が命中する確率を q1 とする．p1 + q1 を求めよ．
’ n = 2 のとき，1 回目から (n ¡ 1) 回目まで A の射る矢も B の射る矢も命中せず，n
回目に A の射る矢が命中する確率を pn とする．pn を求めよ．
“ n = 2 のとき，A の射る矢は 1 回目から n 回目まで命中せず，B の射る矢は 1 回目か
ら (n ¡ 1) 回目まで命中せずに n 回目のみ命中する確率を qn とする．qn を求めよ．
(3) (2) で求めた pn (n = 1; 2; 3; Ý) に対して
E=
1
P
(2n ¡ 1)pn
n=1
とおく．E の値を求めよ．
（東京農工大学 2015 ）
-3-
4
次の問に答えよ．
(1) 関数 f(x) = xe¡2x に対し，f0 (x) と f00 (x) を求めよ．
n
P
Sn
(2) n を自然数とし，Sn =
(n + k)2 とする．Sn を n の式で表し，極限 lim 3 を求めよ．
n!1 n
k=1
Z4
1 p
p
dx の値を求めよ．
(3) 定積分
1
x(1 + x)
（東京都市大学 2015 ）
-4-
5
B
B
関数 f(x) = 2 1 ¡ x2 に対し，曲線 y = f(x) 上の点 P(a; 2 1 ¡ a2 ) における接線を
` とする．` と x 軸，y 軸との交点をそれぞれ Q，R とし，線分 QR の長さを d とすると
き，次の問いに答えよ．ただし，0 < a < 1 とする．
(1) f(x) を微分せよ．
(2) 直線 ` の方程式を求めよ．
(3) d2 を a を用いて表せ．
(4) d の値が最小となるような a の値と，そのときの d の値を求めよ．
（大阪工業大学 2015 ）
-5-
6
曲線 y = e¡x を C とし，n を自然数とする．このとき，以下の空欄をうめよ．
(1) 曲線 C 上の点 P(t; e¡t ) における接線が x 軸と交わる点を Q とする．点 Q の x 座標は
イ
である．
(2) 一般に，曲線 C 上の点 Pn が与えられたとき，この点 Pn における接線が x 軸と交わる点
を Qn とし，点 Qn を通り，x 軸に垂直な直線と曲線 C の交点を Pn+1 とする．P1 (0; 1) か
ら出発して，Q1 ，P2 ，Q2 ，Ý のように点をとる．このとき，点 Qn の x 座標は
ロ
で
ある．
(3) 曲線 C，直線 Pn Qn および直線 Qn Pn+1 で囲まれた部分の面積を Sn とする．このとき，
Sn = ハ
1
P
(4)
Sn =
である．
ニ
である．
n=1
（会津大学 2016 ）
-6-
7
関数 f(t) =
Z
0
¼
2
(x ¡ t cos x)2 dx は，t = a（ a は正の実数）で最小値をとるものとす
る．a を超えない最大の整数の値を求めよ．
（自治医科大学 2015 ）
-7-
8
関数 f(x) =
1+x
について，次の問いに答えよ．
1 + x2
(1) f(x) の最大値と最小値を求めよ．
Z p3
(2)
p f(x) dx を求めよ．
¡ 3
（福岡大学 2015 ）
-8-
9
¡! ¡
! ¡! ¡
! ¡! ¡
!
四面体 OABC があり，OA = a ，OB = b ，OC = c とする．三角形 ABC の重心を G
¡!
¡
! ¡!
¡
! ¡!
¡!
とする．点 D，E，P を OD = 2 b ，OE = 3 c ，OP = 6OG をみたす点とし，平面 ADE
と直線 OP の交点を Q とする．次の問いに答えよ．
¡! ¡
! ¡
! ¡
!
(1) OQ を a ; b ; c を用いて表せ．
S2
を求めよ．
S1
V2
(3) 四面体 OADE の体積を V1 ，四面体 PQDE の体積を V2 とするとき，
を求めよ．
V1
(2) 三角形 ADE の面積を S1 ，三角形 QDE の面積を S2 とするとき，
（横浜国立大学 2016 ）
-9-
1
に対し OA を s : (1 ¡ s) に内分す
2
¡! ¡
!
る点を P とし，0 < t < 1 に対し OC を t : (1 ¡ t) に内分する点を Q とする．OA = a ，
¡
! ¡! ¡
!
OB = b ，OC = c とおくとき，以下の問いに答えよ．
10 1 辺の長さ 1 の正四面体 OABC を考える．0 < s <
¡
! ¡!
¡
! ¡
! ¡
!
(1) PB，PQ をそれぞれ a ; b ; c ; s; t を用いて表せ．
(2) ÎBPQ = 90± であるとき，t を s を用いて表せ．
(3) (2) の条件の下で，t の最大値とそのときの s の値を求めよ．
(4) (3) で求めた s; t に対して，PQ2 を求めよ．
（熊本大学 2016 ）
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