1 1 辺の長さが 1 の正四面体 OABC があり,その 4 (1) 2 曲線 C1 ,C2 の交点をすべて求めよ. (2) 2 曲線 C1 ,C2 の概形をかき,C1 と C2 で囲ま (3) 4PQR の面積を求めよ. れた図形の面積を求めよ. ( 名城大学 2013 ) 2 曲線 y = B x2 ¡ 1 (x = 1) 上 の 点 ( 神戸大学 2015 ) 5 P(a; b) (a > 1) での接線と y 軸との交点を 袋の中に,赤玉,青玉,白玉,黒玉が,それぞ れ 5 個ずつ入っている.このとき,次の問に答 Q とする.次の問に答えよ. えよ. (1) 点 Q の座標を b で表せ. (1) 袋から 2 個を同時に取り出すとき,その 2 個が 2 (2) PQ の最小値を求めよ. 同じ色である確率は ( 琉球大学 2012 ) ス セソ 曲線 y = e¡x を C とし,n を自然数とする.こ タチ ツテ である. (3) 袋から 3 個を同時に取り出すとき,取り出した のとき,以下の空欄をうめよ. 3 個の色がすべて異なる確率は (1) 曲線 C 上の点 P(t; e¡t ) における接線が x 軸と 交わる点を Q とする.点 Q の x 座標は である. (2) 袋から 3 個を同時に取り出すとき,そのうち 2 個だけが同じ色である確率は 3 x¡3 ,y = x¡4 1 (x ¡ 1)(x ¡ 3) をそれぞれ C1 ,C2 とする. 4 以下の問に答えよ. 辺 OA,AB,BC の中点をそれぞれ P,Q,R と ¡ ! ¡! ¡ ! ¡! ¡ ! ¡! し, a = OA, b = OB, c = OC とおく. ¡! ¡ ! ¡ ! ¡ ! (1) PR を a ; b ; c を用いて表せ. ¡! (2) jPRj を求めよ. 座標平面上の 2 つの曲線 y = トナ ニヌ である. ( 青山学院大学 2011 ) イ である. (2) 一般に,曲線 C 上の点 Pn が与えられたとき, この点 Pn における接線が x 軸と交わる点を Qn とし,点 Qn を通り,x 軸に垂直な直線と曲線 C の交点を Pn+1 とする.P1 (0; 1) から出発して, Q1 ,P2 ,Q2 ,Ý のように点をとる.このとき, 点 Qn の x 座標は ロ である. (3) 曲線 C,直線 Pn Qn および直線 Qn Pn+1 で囲ま れた部分の面積を Sn とする.このとき,Sn = ハ (4) 1 P n=1 ニ 三角形 ABC の頂点 A,B,C は反時計回りに並 んでいるものとする.点 P はいずれかの頂点の 位置にあり,1 枚の硬貨を 1 回投げるごとに,表 が出れば時計回りに隣の頂点へ,裏が出れば反 時計回りに隣の頂点へ,移動するものとする.点 P は最初,頂点 A の位置にあったとする.硬貨 を n 回投げたとき,点 P が頂点 A の位置に戻る 確率を an で表す.次の問いに答えよ. (1) n = 2 に対し an を an¡1 を用いて表せ. である. Sn = 6 (2) an を求めよ. である. ( 会津大学 2016 ) ( 大阪市立大学 2012 ) 7 1 1 1 ,an+1 = a + n (n = 2 2 n 3 1; 2; 3; Ý) で定められた数列 fan g について, a1 = ¡ 次の問いに答えよ. (1) bn = an + k で定まる数列 fbn g が bn+1 = 3n 1 b を満たすとき,定数 k の値を求めよ. 2 n (2) (1) で求めた k に対して,一般項 bn を求めよ. 1 P (3) 一般項 an と an を求めよ. n=1 ( 神奈川大学 2014 ) 10 実数 p に対して 3 次方程式 4x3 ¡ 12x2 + 9x ¡ p = 0 ÝÝ1 を考える. (1) 関数 f(x) = 4x3 ¡ 12x2 + 9x の極値を求めて, y = f(x) のグラフをかけ. (2) 方程式 1 の実数解のなかで 0 5 x 5 1 の範囲 にあるものがただひとつであるための p の条件 を求めよ. ( 北海道大学 2006 ) 8 次の漸化式で定義される数列 an (n = 1; 2; Ý) について,次の問いに答えよ. a1 = 0; a2 = 1; an+2 ¡5an+1 +6an = 0 (1) 数列 bn ; cn を bn = an+1 ¡ 2an ; cn = an+1 ¡ 3an と定義するとき,bn ; cn の満たす漸化式を 11 次の 7 文字をすべて使って文字列を作る. R Y U K O K U (1) 全部で何通りの文字列を作ることができるか求 めなさい. (2) U と U が隣り合わせにならないような文字列 求めよ. (2) 数列 bn ; cn の一般項を求めよ. が何通りあるか求めなさい. (3) O が少なくとも 1 つの U と隣り合うような文字 (3) 数列 an の一般項を求めよ. 列が何通りあるか求めなさい. ( 東北学院大学 2012 ) ( 龍谷大学 2012 ) 12 次の問に答えよ. 9 f(x) = x2 + 2x と g(x) = ¡x2 + 12 につい て,次の問いに答えよ. (1) y = f(x) の最小値を与える x の値を求めよ. (2) y = f(x) のグラフの概形をかけ. (3) y = f(x) と y = g(x) の交点を求めよ. (4) y = f(x) と y = g(x) で囲まれた部分の面積 を求めよ. (1) 次の等式が成り立つことを示せ. Z ¯ ® (x ¡ ®)(x ¡ ¯) dx = ¡ 1 (¯ ¡ ®)3 6 (2) 放物線 y = x2 + px + q を C1 とし ,放物線 y = ¡x2 を C2 とする.C1 は直線 y = 2x 上に 頂点をもち,C2 と相異なる 2 点で交わるとする. C1 と C2 で囲まれる部分の面積が最大となる実 ( 大阪工業大学 2009 ) 数 p; q の値と,そのときの面積を求めよ. ( 琉球大学 2009 ) 13 座標平面の x 軸の正の部分にある点 A と y 軸の 正の部分にある点 B を考える.原点 O から点 A, B を通る直線 ` におろした垂線と,直線 ` との 交点を P とする.OP = 1 であるように点 A,B が動くとき,次の問に答えよ. (1) µ = ÎAOP とするとき,OA + OB ¡ AB を cos µ と sin µ で表せ. (2) OA + OB ¡ AB の最小値を求めよ. ( 琉球大学 2009 )
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