INSTITUT FÜR MATHEMATIK DER UNIVERSITÄT WÜRZBURG
M. Dobrowolski
Würzburg, den 4.7.2016
Klausur zur Vorlesung Einführung in die Funktionentheorie“, SS 2016
”
1. (4+4+4) Bestimmen Sie die folgenden komplexen Kurvenintegrale
Z
a)
z sin z dz, C = {z = ti, t ∈ [0, 1]},
C
b)
Z
ez dz,
r > 0,
Kr (0)
c)
Z
C
C
dz
,
z sin(πz)
C wie nebenstehend.
0
1
Re z
2 (4) Wie viele Nullstellen hat das Polynom
p(z) = z 5 + 14z + 1
im Ringgebiet
3
2
< |z| < 2 ?
3 (2+4+4) Beweisen Sie oder widerlegen Sie (durch Beweis oder Gegenbeispiel) die
folgenden Aussagen:
a) Die Funktion f (z) = sin z1 , z 6= 0, hat im Punkt z = 0 eine wesentliche Singularität.
b) Für jede ganze Funktion f gilt
1
f (z) =
2πi
für alle z ∈
Z
K1 (0)
f (ξ)
dξ
ξ−z
C \ K1(0), insbesondere auch für |z| > 1.
c) Gilt für die ganze Funktion f , dass lim|z|→∞ f (z) = ∞, so ist f ein Polynom.
4 (4) Konstruieren Sie eine biholomorphe Abbildung f : D → S mit
D=
C \ {Re z ≥ 0},
S = {0 < Re z < 1}.
Es können 30 Punkte erreicht werden, die Klausur ist mit 15 Punkten bestanden.
Viel Erfolg!
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