Übung 8 - Institut für Mathematik

INSTITUT FÜR MATHEMATIK DER UNIVERSITÄT WÜRZBURG
M. Dobrowolski
Würzburg, den 13.6.2016
8 . Übung zur ”Funktionentheorie”
8.1 Hat f eine wesentliche Singularität im Punkt z0 , so hat 1/f ebenfalls eine
wesentliche Singularität im Punkt z0 .
8.2 Sei d(n) die Anzahl der Teiler der natürlichen Zahl n. Beispielsweise gilt d(1) =
1 und d(P rimzahl) = 2. Man zeige
∞
X
n
d(n)z =
n=1
8.3 Sei D ⊂
ein z0 ∈ D
∞
X
n=1
zn
.
1 − zn
C ein beschränktes Gebiet und f : D → D sei holomorph. Gilt für
f (z0 ) = z0 und f ′ (z0 ) = 1,
so ist f linear.
Hinweis: Man überlege sich, dass man z0 = 0 betrachten kann. Man entwickle im
Nullpunkt nach Taylor und wende dann Aufgabe 6.3 auf die Komposition f k =
f ◦ f ◦ . . . ◦ f an.
8.4 Sei f eine ganze injektive Funktion. Dann ist f (z) = az + b mit a 6= 0.
Bemerkung und Hinweis: Insbesondere gibt es keine biholomorphe Abbildung von
auf eine echte Teilmenge von . Man betrachte f ( z1 ) und wende den Satz von
Casorati-Weierstraß an.
C
C
8.5 Man zeige, dass für jedes ε > 0 die Funktion
1
+ sin z,
z
z 6= 0
unendlich viele Nullstellen im Streifen −ε < Im z < ε besitzt.

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