Mat rikelnummer : U Aufgabe 1: Folgen, Grenzwerte, Stetigkeit + (a) Betrachten Sie die Folge reeller Zahlen definiert durch ao = I und für n I > 0 sei a „ ~= Untersuchen Sie diese Folge auf Konvergenz und bestimmen Sie gegebenenfalls ihren Grenzwert. W. (b) Seien a, b mit a < b zwei verschiedene reelle Konstante. Geben Sie eine konkrete Funktion f : R + R an, die überall stetig aber genau an den Stellen X = a und X = b nicht differenzierbar ist. Kurze Begründung. (C) Bestimmen Sie: t L h Klausur zur Vorlesung Mathematik für Informatiker I1 SoSe 07 . %3 0 4 2% == Blatt 228 Mat rikelnummer : Aufgabe 2 Polynome (a) Geben Sie ein reelles Polynom p(x) = CL, a k a kmit möglichst geringem Grad ) 6. Beschreiben Sie kurz, an, so dass p(I) = 3,pf(I)= 2,p1'(I) = 4 und P ( ~ ) ( I= wie Sie vorgehen. (b) Beweisen Sie: Jedes reelle Polynom ungeraden Grades hat mindestens eine reelle Nullstelle. Geben Sie ein Polynom dritf,en Grades an mit genau einer reellen Nullst elle. (C) Finden Sie die komplexen Lösungen der Gleichung z2 Klausur zur Vorlesung Matliematili für Iiiformatik'er I1 SoSe 07 + (I + 3i)z + i - 2 = 0. Blatt 3/8 Maf rikelnummer: Aufgabe 3 Funktionen (a) Eine 2-fach differenzierbare Fiinktion f : [U; m) -+ R habe die Eigenschaften: f (U) > 0,ft(a) < 0 und Vx > a : f U ( l - ) 5 0. Argumentieren Sie, dass diese Funktion genau eine NullsfeIle hat. (b) Untersuchen Sie den Funktionsverlauf der Funktion f (X) = X . eUzE. Klausur zur Vorlesung MatiiematiK für Informatiker 11 S o S e 07 Matrikelnummer: Aufgabe 4 Verschiedenes (a) Ordnen Sie die folgenden Funktionen aufsteigend bezüglich ihres asympfotischen Wachst uns. nl.I logz n , nlogz n n f i , nlog,n (b) Bestimmen Sie den Wert von (C) . SiX-ids. Berechnen Sie das bestimmte Integral Achten Sie auf In€egrafionsgrenzen. ep2"dx. Welche Regel wenden Sie an? - (d) Stellen Sie die komplexe Zahl z = I-i in trigonomcfrischer und in Exponentialform dar. n , 7pm f 4.4 1. 3 .-.T I I , +72" /-: Klausur zur Vorlesung Mathematili für Informatiker I1 SoSe 07 M (' -X 3 V - i k, f0dL I J.- = +Z