Übungsblatt 4 - Universität Zürich

Universität Zürich, 15. September 2016
Vorkurs Grundlagen für das Mathematikstudium
Übungsblatt 4: Relationen, Reihen und reelle Funktionen
Untersuche die folgenden Relationen und stelle fest, ob sie reexiv, symmetrisch
oder transitiv sind. Welches sind Äquivalenzrelationen?
Aufgabe 1.
(a) x ∼R y , falls x der Bruder von y ist.
(b) x ∼R y , falls x ein Geschwister von y ist.
(c) x ∼R y , falls x und y die gleiche Staatszugehörigkeit haben.
(d) x ∼R y , falls eine Zugverbindung von x nach y existiert.
Finde selber Beispiele für Relationen und gebe deren Eigenschaften an.
Aufgabe 2.
Welche der folgenden Relationen beschreiben eine Ordnungsrelation?
(a) x ∼R y , falls x mindestens so alt wie y ist.
(b) x ∼R y , falls x nördlicher liegt als y .
(c) x ∼R y , falls x eine Teilmenge von y ist.
Welche der Ordnungsrelationen ist total?1
Aufgabe 3.
In der Vorlesung wurden zwei verschiedene Annäherungen an die Zahl e behandelt:
e = lim
n→∞
1
1+
n
n
und e =
∞
X
1
.
k!
k=0
Bestimme die ersten sechs Folgenglieder der linken Folge, sowie die ersten sechs Glieder der Folge
der Partialsummen sn der rechten Reihe. Was fällt auf?
Aufgabe 4.
Bestimme den Wert der folgenden Reihen:
k 1
k=0 (−1) 2k ,
(a)
P∞
(b)
P∞
1
k=1 k(k+1) .
Hinweis zu (b): Finde Zahlen
1
Eine Ordnungsrelation
entweder
x<y
oder
x>y
≤
x, y mit
1
k(k+1)
auf einer Menge
M
=
x
k
heisst
+
y
k+1 und bestimme die Partialsummen
total,
wenn für je zwei Elemente
gilt. Vergleiche hierzu auch Lemma 2.14 im Skript.
x, y ∈ M
mit
sn .
x 6= y
Das Majorantenkriterium für Reihen besagt Folgendes: Sei 0 ≤ ai ≤ bi für alle i
(gross genug, d.h. für alle i ≥ N für ein N ∈ N). Dann gelten
Aufgabe 5.
∞
X
bi
i=0
∞
X
ai
konvergiert ⇒
divergiert ⇒
i=0
∞
X
i=0
∞
X
ai
konvergiert
bi
divergiert
i=0
Finde je ein Gegenbeispiel, das zeigt, dass die Bedingung ai ≤ bi für beide Aussagen nicht
hinreichend ist. Reicht auch 0 ≤ |ai | ≤ bi ?
Aufgabe 6.
(a)
P∞
(b)
P∞
k=0
Begründe, weshalb die beiden folgenden Reihen nicht konvergent sein können.
k3 +4k2 −2
,
7k3 +1
k
k=2 k2 −1 .
Hinweis zu (b): Majorantenkriterium.
Aufgabe 7. Eine punktförmige Schnecke kriecht auf einem 1 m langen Gummiband mit einer
konstanten Geschwindigkeit von 5 cm/h. Am Ende der ersten und jeder weiteren Stunde wird
das ganze Band homogen um jeweils einen Meter gedehnt. Wird die Schnecke in endlicher Zeit
das rechte Ende erreichen, wenn sie zu Beginn der ersten Stunde am linken Ende startete?
Aufgabe 8.
Gebe ein Verfahren an, wie man die Reihe
1−
1 1 1 1
+ − + − ...
2 3 4 5
so umgruppieren kann, dass sie gegen den Wert 1.5 konvergiert.
Hinweis: Gruppiere die negativen und die positiven Folgenglieder so um, dass die Partialsummen
immer möglichst nahe bei 1.5 liegen.
Aufgabe 9.
(a) Kann man eine 25-Talernote in insgesamt 10 Noten mit kleinerem Wert wechseln, wenn
diese die Werte 1, 3 und 5 Taler haben?
(b) Finde den Fehler in folgendem Widerspruchsbeweis:
Alles, was nicht rot ist, ist blau.
Beweis: Wir werden die Behauptung durch Widerspruch beweisen. Nehmen wir also die
Negation der Behauptung an: Alles, was rot ist, ist blau. Dies ist aber ein Wi- derspruch
zur Eindeutigkeit der Farbe. Also kann die Annahme nicht gelten und die Behauptung ist
bewiesen.
Behauptung:
Ordne die folgenden Funktionen den unten stehenden Graphen zu:
Aufgabe 10.
(a) f (x) := x − [x]
(e) f (x) :=
√
−x
(h) f (x) :=
√
−1
(k) f (x) := arctan
(d) f (x) := x · sin
1
x
(g) f (x) := sin
1
sin(x)
(j) f (x) := √
5
x
1
(b) f (x) := cos(x) + 0.1 sin(40x)
− 2x
1
x
x · sin
(c) f (x) := x 3
√
−2 x
(f) f (x) := sin(x2 )
(i) f (x) :=
x · sin(x2 )
x−0.5
x2 −0.1x−0.7
(l) f (x) := 3 − √
1
0
0.05
0.1
x
x2 +1
0
0.15
1
x(1−x)
0.1
2
0.5
1
-0.1
0
-0.2
0.2
0
-0.5
1
2
3
4
5
-0.5
6
-1
-1
-2
-0.3
-1
(a)
(b)
(c)
(d)
2
1
1
1
-4
-2
0
0
2
0.5
4
0
-1
1
0
1
-1
-1
-1
0
(e)
(f )
1
0
0
1
(g)
1
0.5
1
2
1
1
-4
-3
-2
-1
0
0
1
2
3
4
-1
0
0
-2
0
-3
(i)
3
(h)
0.5
0.5
-1
0
0
1
2
(j)
3
-0.5
(k)
-1
(l)
1

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