2 + bn - SUUGAKU.JP

1
®; ¯ は正の実数とする．次の条件によって定義される数列 fan g; fbn g について，以下の問に答えよ．
a1 = ®;
b1 = ¯;
an+1 = ®an ¡ ¯bn ;
bn+1 = ¯an + ®bn
(n = 1; 2; 3; Ý)
(1) ®2 + ¯2 5 1 が成り立つならば，任意の自然数 n に対して an 2 + bn 2 5 1 が成り立つことを示せ．
¼
; と表されているとき，a2 ，b2 ，a3 ，b3 を µ を用いて表せ．
(2) ® = cos µ; ¯ = sin µ #0 < µ <
2
(3) a12 = 1，b12 = 0 となるような正の実数の組 (®; ¯) を全て求めよ．
2
座標平面上の原点を O とし，3 点 A(0; 1)，B(1; 1)，C(1; 0) を考える．x 軸上に点 P をとり，線分 AP
の垂直二等分線を ` とする．点 P を通り x 軸に垂直な直線と ` との交点を Q とする．
(1) AQ = QP であることを証明せよ．
(2) 点 P が x 軸上を動くとき，点 Q の軌跡はどのような曲線を描くか図示せよ．
(3) 点 P は x 軸の閉区間 [0; 1] にあるとする．このとき，直線 ` が正方形 ABCO を二つの部分に切る．その
うちの点 C を含む部分の面積を S とする．S の最大値と最小値を求めよ．また，そのときの点 P の座標を
求めよ．
3
曲線 y =
x2
を C とし，座標平面上の原点を O とする．以下の問に答えよ．
+3
x2
(1) 曲線 C の凹凸，変曲点，漸近線を調べ，その概形をかけ．
(2) 曲線 C の接線で原点を通るものをすべて求めよ．また，その接点を求めよ．
p
p
17
17
< から時計回りに動かすと
(3) P を原点を中心とする半径
の円周上の点とする．点 P を点 A $0;
4
4
き，原点以外に線分 OP が初めて曲線 C と共有点をもつとき，その座標を求めよ．
(4) Q を原点を中心とする半径 2 の円周上の点とする．点 Q を点 B(0; 2) から時計回りに動かすとき，原点
以外に線分 OQ が初めて曲線 C と共有点をもつとき，その座標を求めよ．
4
以下の問に答えよ．
¼
; を sin x と cos x を用いて表せ．
4
(2) f(x) = sin3 x の導関数を求めよ．
Z ¼
6
¼
; dx を求めよ．
(3)
e3x sin2 x sin #x +
4
0
(1) sin #x +

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