nは法線ベクトル

べき関数の微分
df
f ( x  x ) - f ( x )
 lim
dx x→0
x
微分の定義は
数２の復習
問題微分の定義を使って、次の関数の微分を求めよ。
a) f (x) = c(定数）
b)
f (x) = x
c)
f ( x)  x
d)
f (x) = x 3
e)
f ( x)  x
2
n
nは自然数
1
微分の定義を使った計算：注意
数２の復習
df
y
f (x + x ) - f (x )
= lim
= lim
dx x →0 x x →0
x
最初からΔx=0を代入すると、分母＝０、分子=0になって、
0÷0でわからなくなってしまう。
先に右側の計算（引き算と割り算）を実行して、
整理できることはしてから、最後にlimをとる。
(Δx=0を代入する。）
2
べき関数の微分の解答
c)
f ( x)  x 2
f ( x  x)  ( x  x)  x  2 xx  x 
2
2
2
y  f ( x  x) - f ( x)  2 xx  x 
y
 2 x  x
x
dy
y
 lim
 lim (2 x  x)  2 x  0  2 x
dx x →0 x x→0
2
3
解答a) 定数の微分
a)
f (x ) = c (定数）
f (x + x ) = c
f (x + x ) - f (x ) = c - c = 0
y
0
=
=0
x x
dy
y
= lim
= lim 0 = 0
dx x →0 x x →0
4
解答b) xの微分
b)
f ( x)  x
f ( x  x )  x  x
y  f ( x  x ) - f ( x )  x  x - x  x
y x

1
x x
dy
y
 lim
 lim 1  1
dx x→0 x x→0
5
解答d) x3の微分
d)
f ( x)  x
3
f ( x  x )  ( x  x )  x  3x x  3x x   x 
3
3
2
2
3
y  f ( x  x ) - f ( x )  3x x  3x x   x 
y
2
2
 3x  3xx  x 
x
dy
y
2
2
2
 lim
 lim 3x  3xx  x   3x
dx x→0 x x→0
2
2

3

6
解答e) xnの微分
e)
f (x ) = x
n
f (x + x ) = (x + x ) = x + nx
n
n
y = f (x + x ) - f (x ) = nx
n -1
n -1
x +n C 2x
x +n C 2x
n- 2
n- 2
(x )2 + .
(x )2 + ...
y
= nx n -1 +n C 2x n - 2 (x ) + ...
x
dy
y
n -1
= lim
= nx
dx x →0 x
7
二項定理の復習
数２
n
( a  b)   n C k a b
n
k
nk
k 0
n!
n Ck 
k!(n  k )!
n
k! k (k  1)( k  2)... 1
C0  1, n C1  n
8
ベクトルの微分
スカラー（成分が１個のベクトル）の
場合と同じ
dA
A(t  t )  A(t )
 lim
dt t 0
t
少しの時間Δt だけ経過した時のベクトルの変化の割合。
A (t  t ) と A(t ) は一般には、方向も長さも変わる。
A (t  t )
A(t )
9
速度
動径ベクトル r
速度ベクトル
dr
v
dt
1次元だと、
dx
v
dt
に対して、
dA
A(t  t )  A(t )
 lim
dt t 0
t
ある時間に、どのくらいの距離進むか。
例：一定の速さで動き、３秒間で
15m進んだとしたら、v=15/3=5m/s
11
速度と加速度
動径ベクトル r
速度ベクトル
に対して、
dr
v
dt
dA
A(t  t )  A(t )
 lim
dt t 0
t
加速度ベクトル
2
dv d r
a  2
dt dt
速度の意味：
ある時間に位置がどのくらい変化するか。
加速度の意味：
ある時間に速度ベクトルがどのくらい変化するか。
問題消しゴム（または筆記用具）を使って、
以下の運動を実演してみてください。
(1)大きな速度の運動と、小さな速度の運動。
(2)大きな加速度の運動と、小さな加速度の運動。
a) 直線運動の場合
b) 曲がる運動の場合
12
動径ベクトルの補足
動径ベクトルは、原点から物体がいる点までのベクトル。
半径の方向と長さが
変わっていくイメージ。
物体
動径（動く半径）
と呼んでいる。
記号rを使う理由は、
英語でradius(半径）
のため。
原点
例：野球場でボールの場所を表すのに、
ホームベースを原点にして、ボールまでのベクトルを
動径ベクトルにする。
13
速度ベクトルの補足
動径ベクトルがどう変化するか。
その瞬間の進む方向
r (t + t ) - r (t )
r (t )
r (t + t )
r (t + t ) - r (t )
v (t ) = lim
t →0
t
記号vを使う理由： velocity(速度）のため。
14
加速度ベクトルの補足
曲線の場合
v(t + t )
v (t )
v(t + t ) - v(t )
v(t + t )
v(t + t ) - v(t )
a(t ) = lim
t →0
t
曲がる時は内向きの加速度
v (t )
（右折する時は、右向きの加速度）
記号aを使う理由： acceleration （加速）の頭文字。
15
運動方程式 equation of motion
ma  F
質量
加速度
(スカラー) （ベクトル）
教科書p.11
ニュートンの運動の第２法則
とも呼ぶ。
力
（ベクトル）
力を受けると、物体は運動する。
dr
v
dt
2
dv d r
a  2
dt dt
力と加速度は同じ方向。
しかし、力と速度は同じ方向とは限らない。
力と位置ベクトルは同じ方向とは限らない。
17
運動方程式：力により運動が起こる。
ma  F
質量
mass
力
加速度
force
acceleration
運動は目に見える。
教科書p.11
参考
映画Star Wars
「Use your force」
自分の力を使え。
力は目に見えない。
ニュートンさんは、運動（木からりんごが落ちる）を見て、
力の法則を発見したと言われている。
18
force
力
force 力、軍事力
動詞：強いる
英単語ミニ講座
参考書
「英単語倍増計画」
（薄井明著）
英単語ミニ講座は
試験に出ません。
仲間の単語
・effort 努力
・enforce 施行する、強制する。
(en=付与する。encourage:励ます)
・reinforce 強化する
(re=再び、in=中に）
・comfort 慰める
(com =一緒に）
mass
質量
英単語ミニ講座
mass 質量、
塊 (a mass of =多量の）
大衆 (mass media=マスメディア）
仲間の単語
・massive 巨大な
・amass
蓄積する
acceleration
加速度
英単語ミニ講座
ac=adがcの前で変化
付加する。
celer (ラテン系）すばやい
accelerate 加速する
参考：車のアクセルとブレーキ
decelerate 減速する
運動方程式は経験則
ma  F
運動方程式は、他の式から証明する式ではない。
経験則（経験や実験と合う）。
質量一定なら、加速度と力は比例。
加速度一定なら、質量と力は比例。
力が一定なら、質量と加速度は反比例
22
力の種類
ma  F
力Ｆにはどのようなものがあるか？たとえば、
・重力
・摩擦力
・電荷が電場から受ける力
・電流が磁場から受ける力
・分子と分子の間に働く力
・人間の体内のタンパク質が他のタンパク質や水から受ける力
・地震の時に、地面から受ける力。
-> 大きな力を受けると、建物が倒れたり、
水が動いて津波になる。
東北新幹線は、最初の地震波(P波）を検出して、
自動的に新幹線への電気を停止。減速した。その後にＳ波。
脱線や人身事故がなかった。
23
参考：ゲームクリエーターの試験
ゲーム会社の就職（ゲームクリエーター）で
力学や数学の試験がある所もあります。
力学：重力がある場での落下物を正しく表現できるか。
数学：3Dゲームを作るには、
３次元の座標変換、行列。
プログラミング言語、ゲーム作成経験も必要です。
24
運動方程式と微分方程式
ma  F
d 2r
a 2
dt
r
力
より
2
d r
m 2 F
dt
は物体のある時間での位置を表す。
F
がわかっている時、
r
を求めたい。
r を求めることを、「運動を解く」と言う。
微分方程式（微分を含む式）を解く必要。
25
微分方程式を解くとは。
微分方程式：
例：
関数の微分を含む式
dy
 a (定数 )
dx
y  ax  b
いろいろな関数の微分を知っていれば、
微分方程式を解くことができる（場合もある。）
問題次の微分方程式を解け。
dy
(1) dx  x
dy
2

x
(2)
dx
2
d
y
d y
0
2

b
(3)
(4)
dx
dx 2
2
27
解答
dy
x
(1)
dx
dy
 x2
(2)
dx
2
(3) d y
2
b
dx
2
d
y
(4)
0
2
dx
x2
y
a
23
x
y  a
3
dy
 bx  c
dx
dy
c
dx
bx 2
y
 cx  d
2
y  cx  d
28

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