Blatt 13 - Fachrichtung Mathematik

UNIVERSITÄT DES SAARLANDES
Fachrichtung 6.1 (Mathematik)
Prof. Dr. Mark Groves
Benedikt Hewer
Analysis 1, SS 2016
Übungsblatt 13
1. Eine Funktion s : [a, b] → R heißt Treppenfunktion, falls es eine Zerlegung
Z = {x0 , x1 , . . . , xn } von [a, b] gibt, so dass s auf jedem Teilintervall (xj−1 , xj ), j = 1, . . . , n
konstant ist.
a) Zeigen Sie, dass jede Treppenfunktion f : [a, b] → R integrierbar ist und berechnen
Sie ihr Integral.
b) Beweisen Sie: Eine Funktion f : [a, b] → R ist genau dann integrierbar, wenn es zu
jedem ε > 0 Treppenfunktionen s1 , s2 : [a, b] → R mit s1 ≤ f ≤ s2 und
Z b
Z b
s1 < ε
s2 −
a
a
gibt.
c) Der Positivteil bzw. Negativteil einer Funktion f : [a, b] → R sind die Funktionen
f± : [a, b] → R, die durch die Formeln
(
(
f (x),
f (x) ≥ 0,
0,
f (x) > 0,
f+ (x) =
f− (x) =
0,
f (x) < 0,
−f (x),
f (x) ≤ 0
definiert sind. Zeigen Sie: Ist f über [a, b] integrierbar, so sind auch f± über [a, b]
integrierbar.
d) Zeigen Sie: Ist f über [a, b] integrierbar, so ist auch f 2 über [a, b] integrierbar.
e) Folgern Sie: Sind f, g über [a, b] integrierbar, so sind auch |f |, max(f, g), min(f, g)
und f g über [a, b] integrierbar.
2. a) Zeigen Sie:
Z
sin λx dx = 0.
lim
λ→∞
b
a
b) Es sei s : [a, b] → R eine Treppenfunktion. Zeigen Sie:
Z b
lim
s(x) sin λx dx = 0.
λ→∞
a
c) Es sei f : [a, b] → R integrierbar. Verwenden Sie das Ergebnis von Aufgabe 1b) und
beweisen Sie:
Z b
lim
f (x) sin λx dx = 0.
λ→∞
a
(Dieses Ergebnis nennt man das Riemann-Lebesgue Lemma.)
3. Berechnen Sie die folgenden unbestimmten Integrale.
Z
Z
16x + 1
(1 + x)2
(vii)
dx
√
dx
(i)
2
8x − 14x + 3
x
Z
Z
1
√
(viii)
dx
(ii) (1 − x) 3 x dx
x2 + 8x + 25
Z
Z
√
6x
dx
(ix)
(iii)
x x + 9 dx
(x + 1)(x − 2)
Z
Z 3
3x − 5
x +2
dx
(iv)
dx
(x)
3 − 2x
x2 + 1
Z
Z
x
8−x
(v)
dx
(xi)
dx
(x − 1)(x − 2)
(x − 2)2 (x + 1)
Z
Z
1
1
dx
(vi)
(xii)
dx
x(x − 1)(x − 2)
11 − 4x − 2x2
4. Berechnen Sie die folgenden unbestimmten Integrale.
Z
Z
sin x + 2 cos x
2
2
(i)
sin x cos x dx
(v)
dx
cos x + 2 sin x
Z
Z
2
3
(ii)
sin 2x cos 2x dx
(vi)
tan2 x dx
Z
(iii)
cos 2x cos 3x dx
Z
(iv)
Z
5
2
sin x cos x dx
(vii)
Z
(viii)
1
dx
3 + 5 cos x
1
dx
25 − 24 sin2 x
[Hinweis: sec x = 1/ cos x, cosec x = 1/ sin x]
4x − 5
dx
x2 − 5
Z r
x
dx
(xiv)
1−x
Z
3x + 5
(xv)
dx
x2 + x + 1
Z
2x + 3
√
(xvi)
dx
2
x + 5x + 7
Z √
(xvii)
1 + 16x2 dx
Z
(xiii)
(xviii)
Z √
Z
1
dx
1 − cos x + sin x
Z
sin x
dx
(1 + cos x)2
Z
sec2 x
dx
4 + tan2 x
Z
ex
dx
1 + ex
(ix)
(x)
(xi)
(xii)
1 − x2 dx

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