x2 + 5 x ¡ 6=0 (3) m > 1

1
p
p
p
四角形 ABCD において，AB = 2 2，BC = 6 + 2，CD = 2，ÎB = 60± ，ÎC = 75±
のとき，この四角形の面積を求めよ．
（鳥取大学 2015 ）
2
次の方程式を解け．
x2 + 5 x ¡ 6 = 0
（倉敷芸術科学大学 2015 ）
3
n; m を整数とする．このとき，以下の各問に答えよ．
(1) n 2 を 5 で割った余りは 0; 1 または 4 であることを証明せよ．
(2) n を 5 で割った余りが 4 のとき，n 2 + n は 5 の倍数であることを証明せよ．
(3) m > 1 のとき，m3 ¡ m が 6 の倍数であることを証明せよ．
（釧路公立大学 2014 ）
4
次の問いに答えなさい．
(1) 3 次方程式 x3 + px + q = 0 の 3 つの解を ®; ¯; ° とする．
‘ p; q を ®; ¯; ° を用いて表しなさい．
’ ®2 ¯2 + ®2 °2 + ¯2 °2 を p; q を用いて表しなさい．
(2) 次の式を因数分解しなさい．
x3 (y ¡ z) + y3 (z ¡ x) + z3 (x ¡ y)
（福島大学 2015 ）
5
座標平面上に 2 点 A(3; 2)，B(1; 3) をとる．A，B を通る直線を ` とし，` と x 軸との
交点を X，` と y 軸との交点を Y とする．このとき，以下の問いに答えよ．
(1) ` の方程式を求めよ．
(2) AX : AY をできるだけ簡単な整数比で表せ．
(3) PX : PY = AX : AY を満たすような点 P(x; y) の軌跡の方程式を求めよ．
(4) 点 P(x; y) が，(3) で求めた軌跡上を動くとき，2x + y の最大値および最小値を求めよ．
（岩手大学 2015 ）
6
0 でない実数 a; b; c; d が 3a = 5b = 7c = 105d を満たすとき，
1
1
1
1
+
=
+
a
c
b
d
が成り立つことを示せ．
（鹿児島大学 2015 ）
7
次の問いに答えよ．
(1) sin 3µ を sin µ で表せ．
(2) cos 3µ を cos µ で表せ．
(3) 関数 y = ¡8 sin3 µ + 6 sin µ ¡ 3 cos µ + 4 cos3 µ + 1 の
¼
5 µ 5 ¼ における最大値と
2
最小値を求めよ．
（岩手大学 2015 ）
8
2 つの放物線
C1 : y = x2 ;
C2 : y = ¡(x ¡ 1)2
がある．a は 0 でない実数とし，C1 上の 2 点 P(a; a2 )，Q(¡2a; 4a2 ) を通る直線と平行
な C1 の接線を ` とする．
(1) ` の方程式を a で表せ．
(2) C2 と ` が異なる 2 つの共有点をもつような a の値の範囲を求めよ．
(3) C2 と ` が異なる 2 つの共有点 R，S をもつとする．線分 PQ の長さと線分 RS の長さが等
しくなるとき，a の値を求めよ．
（北海道大学 2015 ）
9
x ¡ 6; x; y がこの順で等比数列であり，x ¡ 9; x; y ¡ x がこの順で等差数列であると
する（ x > 6，y > 0，x; y は実数）．
3y
の値を求めよ．
x
（自治医科大学 2015 ）
¡!
¡
! ¡!
¡
! ¡!
¡
!
¡
! ¡
! ¡
!
10 4ABC の外心を O とし，OA = a ，OB = b ，OC = c とする． a ， b ， c は
¡
!
¡
!
¡
!
j a j = j b j = j c j = 5;
¡
!
¡
!
¡
! ¡
!
4a +3 b +5 c = 0
をみたすとする．次の問いに答えよ．
¡
! ¡
!
¡
! ¡
!
(1) 100 + 3 a ¢ b + 5 c ¢ a = 0 が成り立つことを示せ．
¡
! ¡
! ¡
! ¡
!
¡
! ¡
!
(2) 内積 a ¢ b ， b ¢ c および c ¢ a を求めよ．
¡!
(3) 4ABC の重心を G とするとき，jOGj の値を求めよ．
（新潟大学 2015 ）

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