Ca2 ¡ x2 > ax

1
x についての次の不等式を解け．ただし，a は定数で，a Ë 0 とする．
C
a2 ¡ x2 > ax ¡ a
（旭川医科大学 2007 ）
2
¼
1
;
とし，曲線 xy = a と円 x2 + y2 = 1 の第 1 象限内にある二つの交点のうち，座標が (cos µ; sin µ) #ただし，0 < µ <
2
4
で表される点を A，もうひとつの交点を B とする．原点を O とし，線分 OA，OB および曲線 xy = a で囲まれる図形の面積を S とす
0<a<
るとき，次の問いに答えよ．
(1) S を µ で表せ．
¼
(2) µ が 0 < µ <
の範囲を動くとき，S が極大になる µ がただ一つ存在することを示せ．
4
¼
1
1
(3) 0 < µ <
のとき，方程式 tan µ =
の解を ®，tan µ =
の解を ¯ とする．このとき，S を極大にする µ は ® と ¯ の間にある
4
4
3
ことを示せ．ただし，log 2 = 0:69; log 3 = 1:10 とする．
（旭川医科大学 2007 ）
3
数列 fan g に対し，数列 fbn g を bn = 3an+1 ¡ 2an で定義する．数列 fbn g が初項 b (Ë 0)，公比 r の等比数列であるとき，次の問いに
答えよ．
1
のとき，数列 fan g の一般項を求めよ．
2
(2) 数列 fan g が等比数列であるための必要十分条件を，b; r; a1 を用いて表せ．
(1) b = r = 2 で a1 =
（旭川医科大学 2007 ）
4
関数 f(x) = xex + (1 ¡ ex ) log(1 ¡ ex ) (x < 0) について，次の問いに答えよ．
(1) f(x) の増減と極値を調べ，y = f(x) のグラフの概形を描け．ただし，グラフの凹凸と変曲点は調べなくてよい．必要なら， lim xex =
x!¡1
0; lim x log x = 0 を用いてもよい．
x!+0
(2) 曲線 C1 : y = ex + k と曲線 C2 : y = x ¡ ex が共通接線を持つような，実数 k の範囲を求めよ．
（旭川医科大学 2007 ）
5
x; y; z は負の数で，x + y + z < ¡3 および x2 + y2 + z2 + 2xyz = 1 を満たすとき，次の問いに答えよ．
(1) (x + 1)(y + 1)(z + 1) 5 0 であることを示せ．
(2) x; y; z がすべて無理数である x; y; z の例を 1 組あげよ．
（旭川医科大学 2006 ）
6
p
31 5 3
cos µ ¡ sin µ
?; P = '
? に対して B = P¡1 AP とするとき，次の問いに答えよ．
2 つの行列 A = ' p
5 3 21
sin µ cos µ
® 0
¼
; の値を定め，®; ¯ の値を求めよ．
2
0 ¯
p
(2) (1) で求めた µ を用いて，方程式 31x2 + 21y2 + 10 3xy ¡ 1 = 0 の表す曲線を原点の回りに角 ¡µ だけ回転移動して得られる曲線の
(1) B = '
? となるように µ #0 5 µ 5
方程式を求めよ．
（旭川医科大学 2006 ）
7
2 つの実数 a; b のうち大きい方を maxfa; bg，小さい方を minfa; bg で表す．ただし，a = b のときは，maxfa; ag = minfa; ag =
a とする．
¼
0<µ<
の範囲で，関数 f(x); g(x) を
2
f(x) = min S
1
1
k;
;
sin x
cos x
g(x) = max Stan x;
1
k
tan x
とするとき，次の問いに答えよ．
¼
に関して対称であることを示せ．
4
(2) 2 つの曲線 y = f(x) と y = g(x) で囲まれた図形の面積を S とするとき，eS の値を求めよ．ただし，e は自然対数の底である．
(1) 2 つの曲線 y = f(x) と y = g(x) はそれぞれ直線 x =
（旭川医科大学 2006 ）
8
2 以上の自然数 n に対し，fn (x) =
xn ¡x
e
(x = 0) とおくとき，次の問いに答えよ．
n!
(1) fn (x) の増減，グラフの凹凸を調べ，y = fn (x) のグラフの概形を描け．
Z1
(2)
fn (x) dx を n を用いて表せ．
0
(3) 0 5 x 5 1 で fn (x) 5 fn (1) であることと (2) の結果を用いて，
1
1
1
1
無限級数 1 +
+
+
+
+ Ý の和を求めよ．
1!
2!
3!
4!
（旭川医科大学 2006 ）

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