(2) ¡! DP = r¡! DC + s¡! だし，0 ≦ µ ≦ ¼ (3) ®n の実部

1
O を原点とする座標空間に 4 点 A(1; ¡2; ¡2)，B(¡1; ¡4; 0)，C(2; 2; ¡4)，D(2; 4; ¡4)
をとる．また，線分 AB を t : (1 + t) に外分する点を P，線分 OB を 3 : 2 に外分する点
を Q とおく．ただし，t は正の実数とする．次の問いに答えよ．
¡!
(1) ベクトル OP の成分を t を用いて表せ．
¡! ¡
!
(2) AB と CP が垂直であるとき，t の値を求めよ．
¡!
¡!
¡!
(3) 実数 r; s について DP = rDC + sDQ が成り立つとする．このとき，r; s; t の値を求
めよ．
(4) t が (3) で求めた値のとき，直線 DP と直線 CQ の交点の座標を求めよ．
(5) 4CDP の面積を S(t) とする．S(t) の最小値を求めよ．また，そのときの t の値を求めよ．
（東京農工大学 2016 ）
2
n を自然数とし，a; b; r は実数で b > 0，r > 0 とする．複素数 w = a + bi は w2 = ¡2w
を満たすとする．®n = rn+1 w2¡3n (n = 1; 2; 3; Ý) とする．ただし，i は虚数単位と
し，複素数 z に共役な複素数を z で表す．次の問いに答えよ．
(1) a と b の値を求めよ．
(2) 複素数平面上の 3 点 O(0)，A(®1 )，B(®1 ) について，ÎAOB の大きさを µ とする．た
だし，0 5 µ 5 ¼ とする．µ の値を求めよ．
(3) ®n の実部を cn (n = 1; 2; 3; Ý) とする．cn を n と r を用いて表せ．
1
P
(4) (3) で求めた cn を第 n 項とする数列 fcn g について，無限級数
cn が収束し，その和が
n=1
8
となるような r の値を求めよ．
3
（東京農工大学 2016 ）
3
a を正の実数とし，x の関数 f(x) を
f(x) = e¡ax tan2 x
#¡
¼
¼
;
<x<
3
3
で定める．ただし，e は自然対数の底とする．次の問いに答えよ．
¼
(1) f(x) の導関数を f0 (x) とする．f0 # ; = 0 が成り立つとき，a の値を求めよ．
4
¼
¼
(2) f0 (x) = 0 かつ ¡
<x<
を満たす x がちょうど 3 個存在するように，定数 a の
3
3
値の範囲を定めよ．
(3) a の値が (2) で定めた範囲にあるとする．このとき，方程式 f0 (x) = 0 の解を x1 ; x2 ; x3 #¡
とし，
y1 = f(x1 );
y2 = f(x2 );
y3 = f(x3 )
とおく．
‘ y1 ; y2 ; y3 を大きさの順に並べよ．
’ tan x3 を a の式で表せ．
（東京農工大学 2016 ）
4
xy 平面上の 2 つの曲線
C1 : y = log x + 2
C2 : y = ¡ log x
(x > 0)
(x > 0)
を考える．正の実数 p; q について，点 P(p; log p + 2) における C1 の接線を `1 とし，点
Q(q; ¡ log q) における C2 の接線を `2 とする．また，`1 と `2 は垂直であるとする．た
だし，対数は自然対数とする．次の問いに答えよ．
(1) q を p を用いて表せ．
(2) `2 の方程式を p を用いて表せ．
(3) `1 と `2 の交点を R とする．ÎRPQ =
¼
であるとき，線分 PQ，曲線 C1 および曲線 C2
3
で囲まれた部分の面積 S を求めよ．
（東京農工大学 2016 ）
¼
<x
3
5
r; s は実数で，r > 0 とする．O を原点とする座標空間に 4 点 A(2; 0; 0)，B(0; 1; 0)，
¡!
C(0; 0; 1)，D(r; r; r) がある．さらに，点 E を，ベクトル OE が
¡! ¡!
¡! ¡!
OE = OA + s(AB + AC)
で定まる点とする．次の問いに答えよ．
¡! ¡!
(1) O，A，B，C を通る球面の中心を F とする．OD と OF のなす角を µ とするとき，cos µ
の値を求めよ．
¡! ¡!
(2) DE ¢ AB = 0 が成り立つとき，s を r の式で表せ．
¡! ¡!
¡!
¡! ¡!
(3) (2) の条件 DE ¢ AB = 0 を満たし，さらに jDEj = r，DB ¢ OD < 0 を満たすような r の
値を求めよ．
（東京農工大学 2014 ）
6
e は自然対数の底とする．O を原点とする座標平面に 3 点
B
A(e¡µ + 3; e¡µ );
B(cos µ; sin µ);
B
C( 3; 0)
がある．ただし，µ = 0 とする．次の問いに答えよ．
(1) 三角形 ABC の面積を F(µ) とする．F(µ) を求めよ．
(2) F(µ) の導関数を F0 (µ) とする．区間 0 < µ < 2¼ において F0 (µ) = 0 となる µ の値を
すべて求めよ．
(3) n を自然数とする．区間 2(n ¡ 1)¼ 5 µ 5 2n¼ における F(µ) の最大値，最小値をそれ
ぞれ ®n ，¯n とする．®n ，¯n を求めよ．また最大値を与える µ の値と最小値を与える µ の
値を求めよ．
(4) (3) で求めた ®n (n = 1; 2; 3; Ý) に対して，S =
1
P
n=1
®n とおく．S の値を求めよ．
（東京農工大学 2014 ）
7
p を正の実数とする．関数
f(x) =
Z
x
¡1
fp ¡ log(1 + t )g dt
について，次の問いに答えよ．ただし，対数は自然対数とする．
(1) f(x) の極値を求めよ．
(2) xy 平面の曲線 y = f(x) が x 軸の正の部分と 2 点で交わるような，p の値の範囲を求
めよ．
（東京農工大学 2014 ）
8
xyz 空間に点 P(0; 0; 5) がある．次の問いに答えよ．
(1) 球面 x2 + y2 + (z ¡ 2)2 = 9 と平面 x =
1
が交わってできる円を C とする．C の中心
2
の座標と半径を求めよ．
1
(2) C 上に点 Q # ; s; t; をとったとき，2 点 P，Q を通る直線と xy 平面との交点を R(X; Y; 0)
2
とする．X; Y それぞれを s; t の式で表せ．
(3) Q が C 上のすべての点を動くとき，R が描く曲線を C0 とする．C0 の長さ L を求めよ．
（東京農工大学 2013 ）
9
次の問いに答えよ．
B
(1) f(x) = log(x + x2 + 1) とする．ただし，対数は自然対数とする．
‘ f(x) の導関数 f0 (x) を求めよ．
3
’ 直線 y = x と直線 x =
および曲線 y = f(x) で囲まれた部分の面積 S を求めよ．
4
2
(2) ® =
¼ とする．
5
‘ cos 3® = cos 2® が成り立つことを用いて，cos ® と cos 2® の値を求めよ．
’ 2 個のさいころを同時に投げるとき，出る目の数の和を N とする．このとき，座標平
p
¡! ¡!
面上の点 P(1; 3) を原点 O のまわりに角 N® だけ回転した点を Q とし，OP と OQ
の内積を T とする．T の期待値を求めよ．
（東京農工大学 2013 ）
10 xy 平面上に 2 つの曲線
p
3
C1 : y = tan x +
3
B
1
C2 : y = 3k #cos 2x ¡ ;
2
¼
<x<
2
¼
#¡
<x<
2
#¡
¼
;
2
¼
;
2
がある．ただし k は実数とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1) t = tan x とおく．cos 2x を t の式で表せ．
4
(2) k = ¡ のとき，C1 と C2 で囲まれた部分の面積 S を求めよ．
3
(3) C1 と C2 の共有点の個数が 1 になるときの k の範囲を求めよ．
（東京農工大学 2013 ）

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