1 次の問いに答えよ． - SUUGAKU.JP

1
次の問いに答えよ．
(1) log4 a2 ¡ 3 = 4 loga 2 を満たす正の実数 a をすべて求めよ．
3
(2) 279x = 4y を満たす整数 x; y の組をすべて求めよ．
9
-1-
2
数列 fan g を
a1 = 2;
an+1 =
an + 2
2an + 1
(n = 1; 2; 3; Ý)
で定める．また，数列 fbn g は
bn =
an ¡ 1
an + 1
(n = 1; 2; 3; Ý)
を満たす．次の問いに答えよ．
(1) bn+1 を bn を用いて表せ．
(2) 数列 fbn g の一般項を求めよ．
(3) 数列 fan g の一般項を求めよ．
-2-
3
¡
!
¡!
¡
!
s; t を実数とする．平面上の異なる 4 点 A，B，C，P は PC = sPA + tPB を満たしている．また，点 C および点 P は直線 AB 上に
ない．線分 BC を 1 : 3 に内分する点 Q が直線 AP 上にあるとき，次の問いに答えよ．
¡! ¡
! ¡
!
(1) PQ を PB と PC を用いて表し，t の値を求めよ．
¡!
¡!
(2) AQ = 2AP を満たすとき，s の値を求めよ．
(3) 点 P が 4ABC の内部にあるとき，s のとり得る値の範囲を求めよ．ただし，三角形の内部に周は含まれないものとする．
-3-
4
t を実数とし，xy 平面上に直線 ` : y = tx と曲線 C : y = log x がある．次の問いに答えよ．
(1) ` が C と共有点をもたないとき，t のとり得る値の範囲を求めよ．
(2) ` が C と接するとき，` と C および x 軸で囲まれた部分の面積 S を求めよ．
(3) 正の実数 a に対して，C 上の点 A(a; log a) と ` の距離を f(a) とおく．f(a) の最小値を t を用いて表せ．
-4-
5
複素数平面上に原点 O と 3 点 A(5)，B(¡10 ¡ 5i)，C(3 + 4i) をとる．4OAB を，点 O が点 C に重なるように平行移動し，さらに
¼
¼
点 C のまわりに µ だけ回転した．このとき，点 A は点 A0 (®) に，点 B は点 B0 (¯) に移った．ただし，¡
<µ5
とし，®; ¯
2
2
は複素数とする．3 点 O，C，A0 が一直線上にあるとき，次の問いに答えよ．
(1) ®; sin µ の値を求めよ．
(2) ¯ の値を求めよ．
(3) ÎB0 OA0 の大きさを求めよ．
-5-
6
n を 1 以上の整数とする．袋の中に，1 の数字を書いたカードが 1 枚，2 の数字を書いたカードが 2 枚，3 の数字を書いたカードが 3 枚
入っている．この袋の中から，無作為にカードを 1 枚取り出して数字を記録し，もとに戻すという試行を繰り返す．次の問いに答えよ．
(1) この試行を n 回繰り返したとき，記録された n 個の数字すべての積を Rn とする．Rn が 3 で割り切れない確率と，Rn が 6 で割り切
れる確率を n を用いて表せ．
(2) この試行を n 回繰り返したとき，記録された n 個の数字の合計を Sn とし，Sn が偶数である確率を pn とする．pn+1 を pn を用いて
表し，数列 fpn g の一般項を求めよ．
-6-
7
整数 a; b は 0 5 a 5 3，0 5 b 5 3 を満たし，
2a sin(bx + a¼) sin bx ¡ cos 2bx + 1 = 0
がすべての実数 x について成り立っている．このような a; b の組 (a; b) をすべて求めよ．
-7-
8
¡! ¡
!
正六角形 ABCDEF において，辺 BC の中点を G，辺 DE を t : (1 ¡ t) に内分する点を H とする．ただし，0 < t < 1 である．AB = a ，
¡! ¡
!
AF = b とするとき，次の問いに答えよ．
¡! ¡! ¡!
¡
! ¡
!
(1) AC，AG，AH を t; a ; b を用いて表せ．
(2) 直線 CF と直線 GH の交点を I とするとき，GI : IH を求めよ．
(3) さらに，直線 AI と直線 CD の交点を J とする．点 J が線分 CD を 1 : 2 に内分するとき，t の値を求めよ．
-8-
9
関数 f(x) と定数 a; b が次の等式を満たしている．
Z
x
0
(x ¡ t)f(t) dt = ex + 2e¡x ¡
3 2
x + ax + b
2
ただし，e は自然対数の底である．次の問いに答えよ．
(1) 関数 f(x) と定数 a; b を求めよ．
(2) 曲線 y = f(x) と x 軸で囲まれた部分の面積 S を求めよ．
-9-
y2
x2
+
= 1 に 2 本の接線 `1 ; `2 を引き，それぞれの接点の座標を (a; b)，(c; d) とする．ただし，a < c
3
4
とする．次の問いに答えよ．
10 点 P(3; 2) から楕円 C :
(1) 接点の座標 (a; b)，(c; d) を求めよ．
(2) C の x = 0 の部分を曲線 C0 とするとき，C0 と `1 および `2 で囲まれた部分の面積 S を求めよ．
- 10 -
p
p
1
11 数列 fan g，fbn g が，an = 2n + 1 ¡ 2n ¡ 1，bn = p
2n ¡ 1
で定められている．このとき，次の問いに答えよ．
(1) n = 1 に対して，bn+1 < an < bn が成り立つことを示せ．
40
P
(2) 8 <
bk < 9 が成り立つことを示せ．
k=1
- 11 -
12 次の問いに答えよ．
(1) t を実数とする．x についての方程式 2x + 2¡x = t の実数解の個数を調べよ．
(2) a と b を実数とし，x についての方程式 4x + 4¡x + a(2x + 2¡x ) + b = 0 が，ちょうど 3 個の実数解をもつとする．このとき，点
(a; b) の存在する範囲を図示せよ．
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13 立方体 ABCD-EFGH がある．辺 AD，AB をそれぞれ 1 : 3 に内分する点を P，Q とする．辺 FG 上に FS : SG = t : (1¡t) (0 < t < 1)
¡! ¡
! ¡! ¡
! ¡! ¡
!
をみたす点 S をとる．また，3 点 P，Q，S を通る平面と辺 BF の交点を R とする．AB = x ，AD = y ，AE = z とするとき，次
の問いに答えよ．
¡! ¡
! ¡
! ¡
!
(1) QR を x ， y ， z および t を用いて表せ．
(2) ÎQRS = 120± となるときの t の値を求めよ．
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14 曲線 C : y = ex 上の点 P，Q における接線をそれぞれ `; m とする．P，Q の x 座標をそれぞれ log t，log 2t とし，曲線 C と直線
¼
¼
`; m で囲まれた部分の面積を S とする．また，`; m の傾きをそれぞれ tan ®，tan ¯ とする．ただし，t > 0，¡
<®<
，
2
2
¼
¼
¡
<¯<
である．このとき，次の問いに答えよ．
2
2
(1) tan ®; tan ¯ および S をそれぞれ t を用いて表せ．
(2) ¯ ¡ ® が最大となるときの t の値を求めよ．
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