1 次の問いに答えよ. (1) log4 a2 ¡ 3 = 4 loga 2 を満たす正の実数 a をすべて求めよ. 3 (2) 279x = 4y を満たす整数 x; y の組をすべて求めよ. 9 -1- 2 数列 fan g を a1 = 2; an+1 = an + 2 2an + 1 (n = 1; 2; 3; Ý) で定める.また,数列 fbn g は bn = an ¡ 1 an + 1 (n = 1; 2; 3; Ý) を満たす.次の問いに答えよ. (1) bn+1 を bn を用いて表せ. (2) 数列 fbn g の一般項を求めよ. (3) 数列 fan g の一般項を求めよ. -2- 3 ¡ ! ¡! ¡ ! s; t を実数とする.平面上の異なる 4 点 A,B,C,P は PC = sPA + tPB を満たしている.また,点 C および点 P は直線 AB 上に ない.線分 BC を 1 : 3 に内分する点 Q が直線 AP 上にあるとき,次の問いに答えよ. ¡! ¡ ! ¡ ! (1) PQ を PB と PC を用いて表し,t の値を求めよ. ¡! ¡! (2) AQ = 2AP を満たすとき,s の値を求めよ. (3) 点 P が 4ABC の内部にあるとき,s のとり得る値の範囲を求めよ.ただし,三角形の内部に周は含まれないものとする. -3- 4 t を実数とし,xy 平面上に直線 ` : y = tx と曲線 C : y = log x がある.次の問いに答えよ. (1) ` が C と共有点をもたないとき,t のとり得る値の範囲を求めよ. (2) ` が C と接するとき,` と C および x 軸で囲まれた部分の面積 S を求めよ. (3) 正の実数 a に対して,C 上の点 A(a; log a) と ` の距離を f(a) とおく.f(a) の最小値を t を用いて表せ. -4- 5 複素数平面上に原点 O と 3 点 A(5),B(¡10 ¡ 5i),C(3 + 4i) をとる.4OAB を,点 O が点 C に重なるように平行移動し,さらに ¼ ¼ 点 C のまわりに µ だけ回転した.このとき,点 A は点 A0 (®) に,点 B は点 B0 (¯) に移った.ただし ,¡ <µ5 とし ,®; ¯ 2 2 は複素数とする.3 点 O,C,A0 が一直線上にあるとき,次の問いに答えよ. (1) ®; sin µ の値を求めよ. (2) ¯ の値を求めよ. (3) ÎB0 OA0 の大きさを求めよ. -5- 6 n を 1 以上の整数とする.袋の中に,1 の数字を書いたカードが 1 枚,2 の数字を書いたカードが 2 枚,3 の数字を書いたカードが 3 枚 入っている.この袋の中から,無作為にカードを 1 枚取り出して数字を記録し,もとに戻すという試行を繰り返す.次の問いに答えよ. (1) この試行を n 回繰り返したとき,記録された n 個の数字すべての積を Rn とする.Rn が 3 で割り切れない確率と,Rn が 6 で割り切 れる確率を n を用いて表せ. (2) この試行を n 回繰り返したとき,記録された n 個の数字の合計を Sn とし ,Sn が偶数である確率を pn とする.pn+1 を pn を用いて 表し,数列 fpn g の一般項を求めよ. -6- 7 整数 a; b は 0 5 a 5 3,0 5 b 5 3 を満たし, 2a sin(bx + a¼) sin bx ¡ cos 2bx + 1 = 0 がすべての実数 x について成り立っている.このような a; b の組 (a; b) をすべて求めよ. -7- 8 ¡! ¡ ! 正六角形 ABCDEF において,辺 BC の中点を G,辺 DE を t : (1 ¡ t) に内分する点を H とする.ただし,0 < t < 1 である.AB = a , ¡! ¡ ! AF = b とするとき,次の問いに答えよ. ¡! ¡! ¡! ¡ ! ¡ ! (1) AC,AG,AH を t; a ; b を用いて表せ. (2) 直線 CF と直線 GH の交点を I とするとき,GI : IH を求めよ. (3) さらに,直線 AI と直線 CD の交点を J とする.点 J が線分 CD を 1 : 2 に内分するとき,t の値を求めよ. -8- 9 関数 f(x) と定数 a; b が次の等式を満たしている. Z x 0 (x ¡ t)f(t) dt = ex + 2e¡x ¡ 3 2 x + ax + b 2 ただし,e は自然対数の底である.次の問いに答えよ. (1) 関数 f(x) と定数 a; b を求めよ. (2) 曲線 y = f(x) と x 軸で囲まれた部分の面積 S を求めよ. -9- y2 x2 + = 1 に 2 本の接線 `1 ; `2 を引き,それぞれの接点の座標を (a; b),(c; d) とする.ただし,a < c 3 4 とする.次の問いに答えよ. 10 点 P(3; 2) から楕円 C : (1) 接点の座標 (a; b),(c; d) を求めよ. (2) C の x = 0 の部分を曲線 C0 とするとき,C0 と `1 および `2 で囲まれた部分の面積 S を求めよ. - 10 - p p 1 11 数列 fan g,fbn g が,an = 2n + 1 ¡ 2n ¡ 1,bn = p 2n ¡ 1 で定められている.このとき,次の問いに答えよ. (1) n = 1 に対して,bn+1 < an < bn が成り立つことを示せ. 40 P (2) 8 < bk < 9 が成り立つことを示せ. k=1 - 11 - 12 次の問いに答えよ. (1) t を実数とする.x についての方程式 2x + 2¡x = t の実数解の個数を調べよ. (2) a と b を実数とし ,x についての方程式 4x + 4¡x + a(2x + 2¡x ) + b = 0 が,ちょうど 3 個の実数解をもつとする.このとき,点 (a; b) の存在する範囲を図示せよ. - 12 - 13 立方体 ABCD-EFGH がある.辺 AD,AB をそれぞれ 1 : 3 に内分する点を P,Q とする.辺 FG 上に FS : SG = t : (1¡t) (0 < t < 1) ¡! ¡ ! ¡! ¡ ! ¡! ¡ ! をみたす点 S をとる.また,3 点 P,Q,S を通る平面と辺 BF の交点を R とする.AB = x ,AD = y ,AE = z とするとき,次 の問いに答えよ. ¡! ¡ ! ¡ ! ¡ ! (1) QR を x , y , z および t を用いて表せ. (2) ÎQRS = 120± となるときの t の値を求めよ. - 13 - 14 曲線 C : y = ex 上の点 P,Q における接線をそれぞれ `; m とする.P,Q の x 座標をそれぞれ log t,log 2t とし ,曲線 C と直線 ¼ ¼ `; m で囲まれた部分の面積を S とする.また,`; m の傾きをそれぞれ tan ®,tan ¯ とする.ただし ,t > 0,¡ <®< , 2 2 ¼ ¼ ¡ <¯< である.このとき,次の問いに答えよ. 2 2 (1) tan ®; tan ¯ および S をそれぞれ t を用いて表せ. (2) ¯ ¡ ® が最大となるときの t の値を求めよ. - 14 -
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