Präsenzblatt 8

Sommersemester 2016
Tobias Roßmann
Elementare Zahlentheorie
Präsenzblatt 8
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Besprechung am 1. Juni 2016.
Aufgabe 1. Seien peine ungerade Primzahl, n ∈ N und a ∈ Z mit p - a. Zeigen Sie, dass
NX 2 −a (pn ) = 1 + ap .
Aufgabe 2. Sei g eine Primitivwurzel modulo der ungeraden Primzahl p. Zeigen Sie, dass
g 2 , g 4 , . . . , g p−1 quadratische Reste und g, g 3 , . . . , g p−2 quadratische Nichtreste modulo p
sind.
Hinweis: Dies liefert einen neuen Beweis von Proposition 4.7.
Aufgabe 3. Bestimmen Sie die Primzahlen p derart, dass a quadratischer Rest modulo
p ist für (i) a = 10 und (ii) a = 13.
Aufgabe 4. Sei p prim mit p ≡ 3 (mod 4). Zeigen Sie: Es gibt kein (x, y) ∈ Z2 mit
x2 − py 2 = −1.
n
Aufgabe 5. Seien n > 2 und p ein Primteiler der Fermat-Zahl Fn = 22 + 1. Zeigen Sie,
dass p ≡ 1 (mod 2n+2 ).

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