10.¨Ubung Zahlentheorie

10. Übung Zahlentheorie
Prof. Dr. Nebe
Aufgabe 30.
(SS 2016)
(8 Punkte)
(a) Zeigen Sie: Sind A und B endliche abelsche Gruppen mit Charaktertafeln CA und CB , so ist das Kroneckerprodukt CA ⊗CB eine Charaktertafel von A ⊕ B.
(b) Bestimmen Sie Charaktertafeln von allen abelschen Gruppen der Ordnung 3, 9 und 27.
Aufgabe 31. (8 Punkte) Sei p eine Primzahl und V = Fnp der Raum der
Zeilen der Länge n über dem Körper mit p Elementen. Wir identifizieren die
Elemente Fp = Z/pZ mit ihren Vertretern in Z. Zeigen Sie
(a) β : V × V → Q/Z, β(a, b) := ( p1 ni=1 ai bi ) + Z definiert eine nichtausgeartete symmetrische biadditive Abbildung auf der endlichen abelschen
Gruppe V .
P
(b) Bestimmen Sie β ∗ und die Charaktergruppe von V .
!
1 1 1 0
(c) Sei p = 3, n = 4 und A :=
∈ F2×4
3 . Sei C := Z(A)
0 1 −1 1
der Zeilenraum von A. Zeigen Sie C = C ⊥,β und bestimmen Sie explizit
C ⊥ ≤ V̂ .
(d) Sei C wie in (c) und a = (1, 1, 1, 1) ∈ V . Bestimmen Sie β ∗ (a)|C ∈ Ĉ.
Abgabe: Montag 27.6.2016 vor der Vorlesung 12:00 Uhr im Hörsaal IV.

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