Blatt 5

Sommersemester 2016
Tobias Roßmann
Elementare Zahlentheorie
Blatt 5
?
Abgabe bis 12 Uhr am 17. Mai 2016 im Postfach Ihres Tutors.
Aufgabe 1 (4 Punkte). Seien n, d ∈ N mit d | n. Sei a ∈ Z mit ggT(a, d) = 1. Zeigen
Sie, dass es ein b ∈ Z mit a ≡ b (mod d) und ggT(b, n) = 1 gibt.
Aufgabe 2 (2+2 Punkte). Seien a ∈ N und p prim.
(i) Sei f (X) ein Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten. Seien b, x ∈ Z mit f (x) ≡ 0
(mod pa ), νp (f 0 (x)) = b und 0 6 2b < a. (Wir setzen νp (0) := ∞.) Zeigen Sie, dass
es ein y ∈ Z mit f (y) ≡ 0 (mod pa+1 ), νp (f 0 (y)) = b und x ≡ y (mod pa−b ) gibt.
(ii) Sei f (X1 , . . . , Xm ) ein Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten. Sei x ∈ Zm mit
∂f
f (x) ≡ 0 (mod pa ) und ∂X
(x) 6≡ 0 (mod p) für ein j ∈ {1, . . . , m}. Sei R ein
j
vollständiges Restsystem modulo pa+1 . Zeigen Sie, dass genau pm−1 Elemente y ∈
Rm sowohl f (y) ≡ 0 (mod pa+1 ) als auch xi ≡ yi (mod pa ) für i = 1, . . . , m erfüllen.
Aufgabe 3 (4 Punkte). Sei n ∈ N ungerade. Zeigen Sie die Äquivalenz folgender Aussagen:
(i) an−1 ≡ 1 (mod n) für alle a ∈ Z mit ggT(a, n) = 1.
(ii) n ist quadratfrei (d.h. νp (n) 6 1 für alle Primzahlen p) und (p − 1) | (n − 1) für
jeden Primteiler p | n.
Aufgabe 4 (3+1 Punkte).
(i) Seien p prim, a ∈ Z und n ∈ N mit ggT(n, p−1) = 1. Zeigen Sie, dass NX n −a (p) = 1.
(ii) Seien g und g 0 Primitivwurzeln modulo einer ungeraden Primzahl p. Zeigen Sie, dass
gg 0 keine Primitivwurzel modulo p ist.

Download Report