Blatt 9

Sommersemester 2016
Tobias Roßmann
Elementare Zahlentheorie
Blatt 9
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Abgabe bis 12 Uhr am 14. Juni 2016 im Postfach Ihres Tutors.
Aufgabe 1 (4 Punkte). Seien n > 1 ein ungerades Nichtquadrat und R ein vollständiges
Restsystem modulo n. Zeigen Sie, dass
Xr
= 0.
n
r∈R
Aufgabe 2 (4 Punkte). Sei p prim mit p ≡ 1 (mod 4). Zeigen Sie, dass
X
16r<p
r
=1
p
r=
p(p − 1)
.
4
Aufgabe 3 (4 Punkte). Sei p > 2 prim. Angenommen, q := 2p + 1 ist ebenfalls prim.
p−1
Zeigen Sie, dass (−1) 2 · 2 eine Primitivwurzel modulo q ist.
Vorschlag: Zählen Sie sowohl quadratische Reste als auch Primitivwurzeln modulo q.
Hinweis: Es ist nicht bekannt, wie viele Primzahlen der Form 2p + 1 (p prim) es gibt.
Definition. Seien a ∈ Z und n ∈ N mit ggT(a, n) = 1. Wir nennen a einen biquadratischen Rest modulo n, falls es ein x ∈ Z mit x4 ≡ a (mod n) gibt.
Aufgabe 4 (4 Punkte). Sei p eine ungerade Primzahl. Zeigen Sie, dass −4 genau dann
ein biquadratischer Rest modulo p ist, wenn p ≡ 1 (mod 4).
Vorschlag: Bestimmen Sie zur Inspiration zunächst jene z ∈ C mit z 4 = −4.

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