2. Übungsblatt

2. Übung Zahlentheorie
Prof. Dr. Nebe
(SS 2016)
Aufgabe 4. (Die p-adische Bewertung, 6 Punkte)
Sei p eine Primzahl. Die p-adische Bewertung νp : Z → N ∪ {∞} ist definiert
durch
(
∞ n=0
νp (n) :=
a n = pa b mit ggT(p, b) = 1.
Wir setzen diese Funktion fort auf Q durch νp ( cb ) = νp (b) − νp (c). Zeigen Sie
(a) νp : Q → Z ∪ {∞} ist wohldefiniert.
(b) νp (a + b) ≥ min{νp (a), νp (b)} für alle a, b ∈ Q.
Gilt νp (a) 6= νp (b) so gilt νp (a + b) = min{νp (a), νp (b)}.
(c) Durch dp (a, b) := |a − b|p := p−νp (a−b) ∈ R≥0 (mit der Konvention p−∞ = 0)
wird eine Ultrametrik auf Q definiert, d.h. es gilt für alle a, b, c ∈ Q:
1. dp (a, b) ≥ 0 und dp (a, b) = 0 genau dann wenn a = b.
2. dp (a, b) = dp (b, a).
3. dp (a, c) ≤ max{dp (a, b), dp (b, c)}.
(d)∗ Für a ∈ Q, r ∈ R>0 sei die Kugel mit Radius r um a
Br (a) := {b ∈ Q | dp (a, b) < r}.
Zeigen Sie, dass für jedes b ∈ Br (a) gilt Br (a) = Br (b).
Aufgabe 5. (Mersenne Primzahlen, 4 Punkte)
Zeigen Sie: Ist 2n − 1 eine Primzahl (n ∈ N), so ist n eine Primzahl.
Für eine Primzahl p sei Mp := 2p − 1, die Mersenne Zahl zu p.
Bestimmen Sie Mp für alle Primzahlen p ≤ 20 und testen Sie (mit Maple), ob
diese Zahlen Primzahlen sind.
Aufgabe 6. (Fermat Primzahlen, 4 Punkte)
Zeigen Sie: Ist 2n + 1 eine Primzahl (n ∈ N), so ist n eine Potenz von 2.
n
Fn := 2(2 ) + 1 heißt die n-te Fermat Zahl.
Bestimmen Sie (mit dem Computer) Fn für n = 0, 1, 2, 3, 4, 5. Sind dies alles
Primzahlen ?
Abgabe: Montag, den 25.04.2016, vor der Vorlesung 12:00 Uhr im Hörsaal IV.

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