MSG-Hausaufgaben Serie 31 - Mathematik und ihre Didaktik

MSG-Hausaufgaben Serie 31
Abgabe: 29.06.2016
Lucas Mann
Aufgabe 1. Sind die folgenden Mengen zusammen mit den angegebenen Verknüpfungen Gruppen? Überprüfe jeweils die drei Gruppenaxiome.
a) ({−1, 1}, ·), wobei · die Multiplikation ganzer Zahlen ist.
b) (Z \ P, ·), wobei Z \ P die Menge aller ganzen Zahlen ist, die keine Primzahl sind.
c) (Q2 , ·), wobei Q2 die Menge aller rationalen Zahlen ist, die sich als Quadrat einer rationalen
Zahl schreiben lassen.
d) ({1, 3, 5, 7}, ·), wobei · die Multiplikation modulo 8 bezeichnet (zeichne eine Verknüpfungstafel!).
Welche der Gruppen sind kommutativ, welche nicht?
Aufgabe 2. Sei m ≥ 1 eine ganze Zahl und sei Zm = {0, 1, . . . , m −1} die Menge der Reste modulo m.
Wir definieren Z∗m als die Teilmenge von Zm , welche nur die zu m teilerfremden Zahlen enthält.
Zum Beispiel gilt:
Z6 = {0, 1, 2, 3, 4, 5},
Z∗6 = {1, 5}.
Auf Z∗m gibt es die Verknüpfung ·, welche zwei Zahlen modulo m multipliziert. In Z∗6 ist zum Beispiel 5 · 5 = 1.
a) Finde die Mengen Z∗7 , Z∗8 und Z∗12 . Wie viele Elemente haben sie jeweils?
b) Zeichne die Verknüpfungstafeln zu den drei Mengen aus voriger Teilaufgabe unter der Verknüpfung ·. Sind das jeweils Gruppen?
Aufgabe 3. Sei (G, ◦) eine Gruppe und sei g ein Element aus G. Die Ordnung von g in G ist definiert
als die kleinste positive Zahl n, sodass
g ◦ g ◦ . . . ◦ g = e,
|
{z
}
n mal
wobei e das neutrale Element der Gruppe ist. Falls kein solches n existiert, so ist die Ordnung von
g unendlich.
Zum Beispiel ist die Ordnung von 4 in (Z10 , +) gleich 5, denn in dieser Gruppe gilt
4+4+4+4+4 = 0
und für eine kürzere Summe von 4en kommt nicht 0 heraus.
a) Zeige, dass in der Gruppe (Z, +) alle Elemente außer 0 die Ordnung unendlich haben. 0 hat
die Ordnung 1.
b) Bestimme die Ordnungen aller Elemente aus Z12 in der Gruppe (Z12 , +). Vergleiche diese
Ordnungen mit der Anzahl der Elemente in Z12 .
c) Die Ordnung von 5 in (Z∗6 , ·) ist 2, denn 5 6= 1 und 5 · 5 = 1 (1 ist das neutrale Element der
Gruppe). Was ist die Ordnung von 3 in (Z∗7 , ·) und von 5 in (Z∗12 , ·)?
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Zusatz
Aufgabe 4. Welches ist die kleinste Anzahl von Gewichten, mit denen jedes ganzzahlige Gewicht
von 1 bis 40 Kilo auf einer (Balken-) Waage gemessen werden kann?
Zeige deine Vermutung für 5, 10, 24,und 40 kg und begründe deine Ansicht.
Aufgabe 5. Was ist die größte Zahl der Schnittpunkte, die 10 Kreise mit dem gleichen Durchmesser
haben können?
Wie viele Schnittpunkte bilden 2 (3,4,5,6) Kreise höchstens?
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