Präsenzblatt 5

Sommersemester 2016
Tobias Roßmann
Elementare Zahlentheorie
Präsenzblatt 5
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Besprechung am 11. Mai 2016.
Aufgabe 1. Seien a, b, c, d, u, v ∈ Z und n ∈ N mit ggT(ad − bc, n) = 1. Sei R ein
vollständiges Restsystem modulo n. Zeigen Sie: Es gibt genau ein (x, y) ∈ R2 mit
ax + by ≡ u (mod n),
cx + dy ≡ v
(mod n).
Aufgabe 2. Seien p > 2 prim und R ein vollständiges Restsystem modulo p. Zeigen Sie,
dass es Polynome f+ (X) und f− (X) gibt derart, dass die Anzahl aller Paare (x, y) ∈ R2
mit x2 + y 2 ≡ 0 (mod p) für p ≡ ±1 (mod 4) durch f± (p) gegeben ist.
Aufgabe 3. Seien e, f, n ∈ N und a ∈ Z. Zeigen Sie: Aus ae ≡ af ≡ 1 (mod n) folgt
aggT(e,f ) ≡ 1 (mod n).
Aufgabe 4. Seien p > 2 prim und a eine Primitivwurzel modulo p. Zeigen Sie:
(i) Gilt p ≡ 1 (mod 4), so ist auch −a eine Primitivwurzel modulo p.
(ii) Aus p ≡ 3 (mod 4) folgt ordp (−a) = (p − 1)/2.
Aufgabe 5. Sei p prim und sei a ∈ Z mit ggT(a, p) = 1 und ordp (a) = 3. Zeigen Sie, dass
(1 + a + a4 )2 ≡ −3 (mod p).

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