Blatt 10

Sommersemester 2016
Tobias Roßmann
Elementare Zahlentheorie
Blatt 10
?
Abgabe bis 12 Uhr am 21. Juni 2016 im Postfach Ihres Tutors.
Aufgabe 1 (2+2 Punkte).
(i) Sei d ∈ N eine Quadratzahl. Bestimmen Sie die Anzahl der Lösungen (x, y) ∈ Z2
der Gleichung x2 − dy 2 = 1.
(ii) Sei d ∈ Z durch 4 oder durch eine Primzahl p mit p ≡ 3 (mod 4) teilbar. Bestimmen
Sie die Anzahl der Lösungen (x, y) ∈ Z2 der Gleichung x2 − dy 2 = −1.
Aufgabe 2 (2+2 Punkte).
(i) Seien a ∈ Z mit a 6= 0 und n ∈ N. Zeigen Sie, dass es eindeutige b ∈ Z und c ∈ N
gibt derart, dass (a) pn - b für jede Primzahl p und (b) a = bcn .
(ii) Gibt es a, b ∈ Q mit 7 = a2 + b2 ? Beweisen Sie Ihre Antwort.
Aufgabe 3 (4 Punkte). Seienp eine ungerade Primzahl und a, b, c ∈ Z mit p - a. Zeigen
2
Sie, dass NaX 2 +bX+c (p) = 1 + b −4ac
.
p
Aufgabe 4 (1+3 Punkte). Sei n > 1 ungerade. Sei
n
a
A := [a] ∈ (Z/nZ)× : a(n−1)/2 ≡
n
o
(mod n)
und B := (Z/nZ)× \ A.
(i) Seien x ∈ A und y ∈ B. Zeigen Sie, dass xy ∈ B. Folgern Sie, dass entweder |B| > |A|
oder B = ∅.
(ii) Zeigen Sie, dass B = ∅ genau dann, wenn n prim ist.
Vorschlag: Reduzieren Sie zunächst auf den Fall, dass n quadratfrei ist.

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