Analytische Zahlentheorie – Blatt 11

Prof. Dr. Benjamin Klopsch
Sommersemester 2015
Analytische Zahlentheorie – Blatt 11
Abgabe der Lösungen zu den ersten beiden Aufgaben am 06.07.2015 in der Vorlesung;
durch Bearbeitung der dritten Aufgabe können zusätzliche Punkte erworben werden.
Weitere Informationen zur Vorlesung und den Übungen finden Sie unter
http://reh.math.uni-duesseldorf.de/~internet/AnaZaTh_SS15/.
Aufgabe 11.1
(8 Punkte)
Sei a ∈ Z quadratfrei, und setze m = 4∣a∣ ∈ N. Zeigen Sie: Es exisiert genau ein Dirichletcharakter χa modulo m dergestalt, daß für alle p ∈ P mit p ∤ m gilt:
a
χa (p) = ( ).
p
Zeigen Sie weiter: (i) χa2 ist der Hauptcharakter modulo m, und (ii) χa ist nicht der
Hauptcharakter modulo m, sofern a ≠ 1 ist.
(Hinweis: Wählen Sie für positives ungerades a = q1 ⋯qr ≠ 1 mit paarweise verschiedenen
Primfaktoren qi ∈ P den Ansatz
n
n
χa (n) = (−1)ε(n,a) ( )⋯( ),
q1
qr
wobei der Ausdruck ε(n, a) noch geeignet zu bestimmen ist, und verwenden Sie das
Quadratische Reziprozitätsgesetz. Verfahren Sie ähnlich mit den restlichen Fällen a = −b,
a = 2b und a = −2b, wobei b ∈ N jeweils ungerade und quadratfrei sei.)
Aufgabe 11.2
(8 Punkte)
(a) Der Dirichletsche Primzahlsatz besagt, daß für m, a ∈ N mit ggT(a, m) = 1 die Menge
P (m, a) = {p ∈ P ∣ p ≡m a} in P die Dirichlet-Dichte 1/ϕ(m) besitzt.
Folgern Sie: Für jede quadratfreie Zahl a ∈ Z∖{1} hat die Menge Q(m, a) = {q ∈ P ∣ (aq) = 1}
die Dirichlet-Dichte 1/2 in P.
(Hinweis: Setzen Sie m = 4∣a∣ ∈ N und beschreiben Sie die Menge Q(m, a) mit Hilfe des
in Aufgabe 11.1 konstruierten Dirichletcharakters χa modulo m.)
(b) Leiten Sie aus der Aussage in (a) folgendes Resultat ab: Sei a ∈ Z dergestalt, daß für
alle bis auf endlich viele p ∈ P die Kongruenz x2 ≡p a eine Lösung xp in Z besitzt. Dann
ist a bereits ein Quadrat in Z.
Bitte wenden!
S. 1/2
Analytische Zahlentheorie – Blatt 11
S. 2/2
Aufgabe 11.3
(+8 Punkte)
(a) In einer „schwachen“ Form besagt der Dirichletsche Primzahlsatz, daß es zu m, a ∈ N
mit ggT(a, m) = 1 stets unendlich viele p ∈ P mit p ≡m a gibt.
Folgern Sie: Sind q1 , . . . , qr endlich viele paarweise verschiedene ungerade Primzahlen und
e1 , . . . , er ∈ {1, −1}, so sind die Primzahlmengen
p
qi
P1 = {p ∈ P ∣ ∀i ∈ {1, . . . , r} ∶ ( ) = ei } und P2 = {p ∈ P ∣ ∀i ∈ {1, . . . , r} ∶ ( ) = ei }
qi
p
jeweils unendlich.
(b) Die folgende „starke“ Form des Dirichletschen Primzahlsatzes läßt sich mit ähnlichen
Methoden wie der Primzahlsatz beweisen:
Seien m, a ∈ N mit ggT(a, m) = 1. Dann gilt
π(x, m, a) ∶= ∣{p ∈ P ∣ p ≡m a und p ≤ x}∣ =
1
x
(1 + o(1))
ϕ(m) log x
für x → ∞.
Folgern Sie aus dieser Abschätzung: Es gibt unendlich viele Primzahlen, deren Dezimaldarstellung mit der Ziffer 1 beginnt und auf die Ziffer 7 endet.
(c) Nach dem in (b) angegebenen „starken“ Dirichletschen Primzahlsatz besitzt die Menge
P1 aller Primzahlen, deren Dezimaldarstellung auf die Ziffer 1 endet, sogar eine positive
natürliche Dichte in P.
Beweisen Sie mit Hilfe des Primzahlsatzes: Die Menge P1′ aller Primzahlen, deren Dezimaldarstellung mit der Ziffer 1 beginnt, besitzt keine natürliche Dichte in P.

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