Blatt 11

Sommersemester 2016
Tobias Roßmann
Elementare Zahlentheorie
Blatt 11
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Abgabe bis 12 Uhr am 28. Juni 2016 im Postfach Ihres Tutors.
Sei p eine Primzahl mit p ≡ 1 (mod 4). In den folgenden drei Aufgaben werden Sie einen
Beweis von Zagier (1990) der Tatsache, dass sich p als Summe zweier Quadrate schreiben
lässt, erarbeiten.
Aufgabe 1 (2+2 Punkte).
(i) Sei
S := {(x, y, z) ∈ N3 : x2 + 4yz = p}.
Zeigen Sie, dass die Vorschrift


(x + 2z, z, y − x − z), falls x < y − z,
(x, y, z) 7→ (2y − x, y, x − y + z), falls y − z < x < 2y,


(x − 2y, x − y + z, y), falls x > 2y
eine Abbildung f : S → S definiert.
(ii) Zeigen Sie, dass f ◦ f = idS .
Aufgabe 2 (4 Punkte). Zeigen Sie, dass f genau einen Fixpunkt besitzt, d.h. dass es
genau ein (x, y, z) ∈ S mit f (x, y, z) = (x, y, z) gibt.
Aufgabe 3 (2+2 Punkte).
(i) Zeigen Sie, dass S endlich und |S| ungerade ist.
(ii) Zeigen Sie (ohne Satz 5.9 zu benutzen), dass die Abbildung
S → S,
(x, y, z) 7→ (x, z, y)
einen Fixpunkt besitzt und schließen Sie, dass p = a2 + b2 für geeignete a, b ∈ N.
Vorschlag: Benutzen Sie Aufgabe 3 von Blatt 8.
Aufgabe 4 (4 Punkte). Seien x, y, z ∈ Z mit x2 − 5y 2 = 3z 2 . Zeigen Sie, dass x = y =
z = 0.

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