Blatt 3

Sommersemester 2016
Tobias Roßmann
Elementare Zahlentheorie
Blatt 3
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Abgabe bis 12 Uhr am 2. Mai 2016 im Postfach Ihres Tutors.
Aufgabe 1 (2+2 Punkte). Sei n ∈ N.
(i) Zeigen Sie, dass n aufeinanderfolgende ganze Zahlen stets ein vollständiges Restsystem modulo n bilden.
(ii) Es sei M ⊂ Z endlich mit |M | > n. Zeigen Sie, dass es m, m0 ∈ M mit m 6= m0 und
m ≡ m0 (mod n) gibt.
Aufgabe 2 (2+2 Punkte). Sei g ∈ N mit g > 1. Sei a =
∞
P
bi g i die g-adische Entwicklung
i=0
von a ∈ N.
P
∞
(i) Sei d | (g − 1). Zeigen Sie, dass d | a genau dann, wenn d bi .
i=0
P
∞
(ii) Sei d | (g + 1). Zeigen Sie, dass d | a genau dann, wenn d (−1)i bi .
i=0
Aufgabe 3 (1+1+2 Punkte). Sei Q× := Q \ {0}.
(i) Sei x ∈ Q× . Zeigen Sie, dass x =
a
b
für eindeutige a ∈ Z und b ∈ N mit ggT(a, b) = 1.
(ii) Sei p prim. Zeigen Sie, dass sich νp : N → N0 aus der Vorlesung eindeutig zu einer
Abbildung νp : Q× → Z mit νp (xy) = νp (x) + νp (y) für x, y ∈ Q× fortsetzen lässt.
(iii) Seien p prim und x, y ∈ Q× mit x 6= −y. Zeigen Sie, dass νp (x+y) > min(νp (x), νp (y)).
Zeigen Sie anhand eines Beispiels, dass νp (x + y) > min(νp (x), νp (y)) möglich ist.
Aufgabe 4 (2+2 Punkte). Sei f (X) ein Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten.
(i) Angenommen, f (x) ist prim für alle x ∈ N. Zeigen Sie, dass f (X) konstant ist.
(ii) Sei f (X) nichtkonstant. Zeigen Sie, dass für unendlich viele Primzahlen p ein xp ∈ Z
mit f (xp ) ≡ 0 (mod p) existiert.

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