Blatt 8

Sommersemester 2016
Tobias Roßmann
Elementare Zahlentheorie
Blatt 8
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Abgabe bis 12 Uhr am 7. Juni 2016 im Postfach Ihres Tutors.
Aufgabe 1 (2+2 Punkte).
(i) Seien p eine ungerade Primzahl und R ein reduziertes Restsystem modulo p. Sei
n
r
o
Q := r ∈ R :
=1 .
p
Zeigen Sie, dass
(
Y
r∈Q
r≡
1 (mod p),
−1 (mod p),
falls p ≡ 3 (mod 4),
falls p ≡ 1 (mod 4).
(ii) Sei p prim. Zeigen Sie, dass jedes Element von Z/pZ in der Form x2 + y 2 für geeignete
x, y ∈ Z/pZ geschrieben werden kann.
Vorschlag: Verwenden Sie Proposition 4.7.
Aufgabe 2 (1+3 Punkte).
(i) Seien a ∈ Z und n > 3 mit ggT(a, n) = 1. Ferner sei a ein quadratischer Rest modulo n.
Zeigen Sie, dass aϕ(n)/2 ≡ 1 (mod n).
(ii) Sei p eine Primzahl. Zeigen Sie, dass es ein x ∈ Z mit x8 ≡ 16 (mod p) gibt.
Vorschlag: Verwenden Sie Proposition 4.3.
Aufgabe 3 (4 Punkte). Seien p eine Primzahl, X eine endliche Menge und f : X → X mit
f p = f ◦ · · · ◦ f = idX . Sei Xf := {x ∈ X : f (x) = x}. Zeigen Sie, dass |X| ≡ |Xf | (mod p).
Vorschlag: Zeigen Sie, dass durch x ∼ y genau dann, wenn y = f n (x) für ein n ∈ N eine
Äquivalenzrelation auf X definiert wird. Zeigen Sie weiterhin, dass jede Äquivalenzklasse entweder
aus einem oder aus genau p Elementen besteht.
Aufgabe 4 (4 Punkte). Seien p eine ungerade Primzahl sowie a, b ∈ Z mit p - ab. Zeigen Sie, dass
n
o
−ab # (x, y) ∈ Z/pZ × Z/pZ : [a]x2 + [b]y 2 = [1] = p −
.
p
P
Vorschlag: Zeigen Sie zunächst, dass p =
(1 + pr ), wobei R ein vollständiges Restsystem
r∈R
modulo p ist; benutzen Sie außerdem Aufgabe 4 von Blatt 4.

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