INSTITUT FÜR MATHEMATIK DER UNIVERSITÄT WÜRZBURG M. Dobrowolski Würzburg, den 8.7.2016 7 . Übung zur ”Funktionentheorie” µ ¶ n 7.1 Man zeige für den Binomialkoeffizienten k µ ¶ Z 1 (1 + z)n n = dz, k 2πi C z k+1 wobei C eine einfach geschlossene Kurve um den Ursprung herum ist. 7.2 Seien f, g holomorph in Umgebung von z0 . Es sei f (z0 ) 6= 0 und g besitze eine zweifache Nullstelle in z0 . Dann gilt Resz=z0 f (z) 6f ′ (z0 )g ′′ (z0 ) − 2f (z0 )g ′′′ (z0 ) = g(z) 3g ′′ (z0 )2 7.3 Wie viele Nullstellen hat das Polynom p(z) = 4z 5 + 12z 2 − 7iz − 1 in der Kreisscheibe |z| ≤ 1 ? 7.4 Man untersuche die folgenden Integrale auf absolute Konvergenz und bestimme ihren Wert: Z ∞ cos x a) dx, a > 0, 2 2 −∞ x + a Z ∞ a−1 x b) dx, 0 < a < 1. 1+x 0 Hinweis zu b): Man transformiert zunächst mit x = et und stellt dann fest, dass die aus der Vorlesung bekannten Methoden versagen. Wo erscheint ein ähnliches Integral in der komplexen Ebene noch einmal? Der Wert des Integrals ist sinπaπ . 7.5 Untersuchen Sie auf lokale Beschränktheit und lokale Konvergenz. Wenn nur lokale Beschränktheit vorliegt, so bestimmen Sie die möglichen Grenzfunktionen von ausgewählten Teilfolgen. a) fn : C → C mit R beliebig. b) fn : D → C, D = C \ N, mit fn (z) = sin(z + an ) mit an ∈ fn (z) = n X k=1 k2 . (z − k)k