Kurzskript zur Vorlesung
Gibbssche Punktprozesse
– Zwischenversion –
Sabine Jansen
5. Juni 2016
Inhaltsverzeichnis
1 Einführung
1.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Von der Gleichverteilung zur Poissonverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Das Widom-Rowlinson-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
3
3
4
2 Gibbsmaße im endlichen Volumen
2.1 Großkanonisches Gibbsmaß . . . .
2.2 Der Druck und seine Ableitungen .
2.3 Korrelationsfunktionen . . . . . . .
2.4 Ruelle-Schranken . . . . . . . . . .
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5
5
6
7
9
3 Der thermodynamische Limes
3.1 Der thermodynamische Limes des Drucks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Grenzwertsätze für die Teilchen- und Energiedichte . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
10
12
4 Wahrscheinlichkeitsmaße im unendlichen Volumen
4.1 Der Konfigurationsraum Γ . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Faktorielle Momente und Korrelationsfunktionen . .
4.3 Lokale Konvergenz von Wahrscheinlichkeitsmaßen . .
4.4 K-Transformation. Janossy-Dichten . . . . . . . . .
4.5 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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13
13
14
17
19
22
A Ergänzungen zu Kapitel 4
A.1 Metrik auf dem Konfigurationsraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.2 Der Raum der Zählmaße . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.3 Schwache Konvergenz von Wahrscheinlichkeitsmaßen . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
23
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25
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1
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1
1.1
Einführung
Motivation
Gibbssche Punktprozesse sind nach Josiah Willard Gibbs (1839-1903) benannt. Die ursprüngliche
Motivation stammt aus der statistischen Physik und der Thermodynamik: viele physikalische Systeme bestehen aus so vielen individuellen Komponenten, dass eine deterministische Beschreibung
aller individuellen Komponenten nicht handhabbar ist und man stattdessen zu einer stochastischen
Beschreibung übergeht.
Z.B. enthält ein Kubikmeter Luft eine Anzahl n an Sauerstoff- und Stickstoffmolekülen, die
von der Größenordnung 1023 ist. Statt alle Teilchenpositionen x1 , . . . , xn deterministisch zu modellieren, werden die Teilchenpositionen als Zufallsvariable beschrieben. Man versucht dann, physikalische Größen wie z.B. Temperatur und Druck auf Mittelwerte zurückzuführen und hofft, dass
wegen der Größe der Teilchenzahl stochastische Grenzwertsätze (z.B. Gesetz großer Zahlen, zentraler Grenzwertsatz) greifen und eine gute effektive Beschreibung der Systemeigenschaften erlauben.
1.2
Von der Gleichverteilung zur Poissonverteilung
Sei Λ = [− L2 , L2 ]3 eine großer Würfel mit Seitenlänge L > 0, n ∈ N eine deterministische Teiln
= Ln3 die Teilchendichte. Wir verteilen n Teilchen zufällig in der Box Λ und
chenzahl und ρ = |Λ|
nehmen an, dass die Positionen X1 , . . . , Xn unabhängig identisch verteilt sind, und jedes einzelne
Teilchen gleichverteilt in Λ. Was kann man über die zufällige Anzahl an Teilchen in einem kleinen Ausschnitt C ⊂ Λ sagen? Es stellt sich heraus, dass man gut mit der Poissonapproximation
arbeiten kann.
Proposition 1.1. Sei ρ > 0 fest. Zu n ∈ N sei Ln > 0 definiert durch ρ = n/L3n . Setze Λn :=
(n)
(n)
[− L2n , L2n ]3 . Sei (Ω, F, P) ein W-Raum und X1 , . . . , Xn : Ω → Λn u.i.v. Zufallsvariable mit
(n)
Xi ∼ UΛn . Für C ⊂ Λn messbar seien
(n)
(n)
NC := #{j ∈ {1, . . . , n} | Xj
∈ C}
die Anzahl Teilchen in C. Dann gilt
(n)
∀k ∈ N0 : lim P(NC = k) =
n→∞
(ρ|C|)k
exp(−ρ|C|).
k!
Wenn die Box unendlich groß wird, konvergiert die Teilchenzahl im festen kleinen Auschnitt C in
Verteilung gegen eine Poissonverteilte Zufallsvariable.
Bemerkung 1.2. Sei f0 ∈ R eine Zahl und (fk )k∈N eine Familie messbarer Abbildungen fk : Λkn →
R. Es existiere ein a > 0, so dass supΛkn |fk | ≤ ak für alle k ∈ N. Für jedes k ≥ 2 sei fk symmetrisch,
d.h. Permutieren der Argumente verändere den Funktionswert nicht:
∀σ ∈ Sk ∀(x1 , . . . , xk ) ∈ Λkn : fk (xσ(1) , . . . , xσ(k) ) = fk (x1 , . . . , xk ).
(1)
Definiere F (∅) := f0 . Für k ∈ N und (x1 , . . . , xk ) ∈ Λkn sei F ({x1 , . . . , xk }) := fk (x1 , . . . , xk ).
Dann gilt
∞
X
ρk
(n)
lim E F ({X1 , . . . , Xn(n) } ∩ C) = e−ρ|C| f0 +
n→∞
k!
k=1
Z
fk (x1 , . . . , xk )dx1 · · · dxk .
(2)
Ck
Bemerkung 1.3. Die vorherigen Betrachtungen legen nahe, von Anfang an mit der Poissonverteilung zu arbeiten. Wir verändern unser Modell und nehmen an, dass die Anzahl Teilchen in Λ
nicht deterministisch, sondern zufällig ist. Seien Λ = [− L2 , L2 ]3 und NΛ , X1 , X2 , . . . unabhängige
3
Zufallsvariable mit NΛ ∼ Poi(ρ|Λ|) und Xi ∼ UΛ für alle i ∈ N. Sei C ⊂ Λ, NC die Anzahl Teilchen
in C und (fk )k∈N , F wie in Bemerkung 1.2. Dann gilt
(ρ|C|)k −ρ|C|
e
(k ∈ N0 )
k!
Z
∞
X
ρk
E F ({X1 , . . . , XNΛ } ∩ C) = e−ρ|C| f0 +
fk (x1 , . . . , xk )dx1 · · · dxk .
k! C k
P(NC = k) =
(3)
k=1
Wir erhalten also ähnliche Formeln wie in Proposition 1.1 und Bemerkung 1.2, ohne einen Grenzübergang durchführen zu müssen. Tatsächlich ist es mathematisch viel bequemer, mit zufälligen Teilchenzahlen zu arbeiten.
1.3
Das Widom-Rowlinson-Modell
Die zweifarbige Variante des Widom-Rowlinson-Modells beschreibt ein Teilchensystem mit blauen
und roten Teilchen mit der Eigenschaft, dass sich andersfarbige Teilchen nicht zu nahe kommen
dürfen. Alternativ kann man sich die Teilchen als Mittelpunkte von passend eingefärbten Kugeln
vorstellen und fordern, dass sich andersfarbige Kugeln nicht berühren dürfen.
Seien z1 , z2 > 0 zwei feste Parameter, Λ = [− L2 , L2 ]d ⊂ Rd . Seien NΛ , MΛ , X1 , X2 , . . . , Y1 , Y2 , . . .
unabhängige Zufallsvariable mit: NΛ ∼ Poi(z1 |Λ|), MΛ ∼ Poi(z2 |Λ|) (Anzahl blauer bzw. roter
Kugeln) und Xi ∼ UΛ , Yi ∼ UΛ für alle i ∈ N (Mittelpunkte blauer bzw. roter Kugeln). B(x, r) ⊂
Rd bezeichne den abgeschlossenen Ball mit Mittelpunkt x und Radius r. Sei
A := {∀i ∈ {1, . . . , NΛ } ∀j ∈ {1, . . . , MΛ } : B(Xi , 1) ∩ B(Yj , 1) = ∅}.
(4)
Das zweifarbige Widom-Rowlinson-Modell entspricht dem Bedingen auf das Ereignis A. Im einfarbigen Modell bedingt man zunächst auf A und interessiert sich dann nur noch für eine Farbe.
Proposition 1.4. Sei β = z2 , z = z1 exp(−z2 |B(0, 2)|) und
n
[
Un,Λ (x1 , . . . , xn ) := B(xi , 2) ∩ Λ − n|B(0, 2)|,
i=1
∞
X
ΞΛ (β, z) := 1 +
zn
n!
n=1
Z
e−βUn,Λ (x1 ,...,xn ) dx1 · · · dxn .
Λn
Dann gilt
1
ΞΛ (β, z)
Z
1
zn
P NΛ = n, (X1 , . . . , XNΛ ) ∈ B | A =
e−βUn,Λ (x1 ,...,xn ) dx1 · · · dxn
ΞΛ (β, z) n! B
P(NΛ = 0 | A) =
für alle n ∈ N und jede Borelmenge B ⊂ Rn .
Ausblick : in der Vorlesung geht es darum, Wahrscheinlichkeitsmaße für zufällige Punktverteilungen
zu definieren, die von der Gestalt aus Proposition 1.4 sind (aber mit anderen Energiefunktionen
Un,Λ ), und ihre Eigenschaften abhängig von den Parametern β, z zu untersuchen. Dies geschieht
zunächst im endlichen Volumen Λ. Danach behandeln wir den Fall Λ = Rd ; hier kommt die Theorie
der Punktprozesse ins Spiel. Schließlich widmen wir uns Phasenübergängen – gibt es Parameter,
bei denen das Verhalten des W-Maßes kippt? Im zweifarbigen Widom-Rowlinson-Modell können
je nach Werten von z1 , z2 die Farben mit hoher Wahrscheinlichkeit entweder gut durchmischt sein
(man denke z.B. an ein Schachbrettmuster aus Rot und Blau) oder aber es findet eine Farbtrennung
statt, bei der etwa die obere Hälfte der Box hauptsächlich blau und die untere rot ist.
4
2
Gibbsmaße im endlichen Volumen
2.1
Großkanonisches Gibbsmaß
Sei Λ ⊂ Rd eine beschränkte Borelmenge (z.B. ein Würfel); wir schreiben Bb (Rd ) für die Menge der
beschränkten Borelmengen. Sei vac = ∅ (Vakuum), Λ0 = {vac} die einelementige Menge, die nur
die leere Konfiguration (kein Teilchen) enthält, und EΛ = ∪n∈N0 Λn . Wir nennen Λn gelegentlich
den n-Teilchen-Sektor. Sei B(Λn ) die Borel-σ-Algebra auf Λn , also die kleinste σ-Algebra, die
alle offenen Mengen O ⊂ Λn enthält. Wir versehen EΛ mit der kleinsten σ-Algebra A, die die
einelementige Menge {vac} sowie alle Borelmengen Bn ⊂ Λn enthält.
Im Folgenden werden wir es mit erweiterten Funktionen f : EΛ → R ∪ {∞} zu tun haben;
solche Abbildungen heißen (Borel-)messbar, wenn für jedes endliche M > 0 gilt {x ∈ EΛ | f (x) ≤
M } ∈ A.
Lemma 2.1.
(a) Sei f : EΛ → R ∪ {∞}, f0 := f (vac), fn := f n
jedes fn : Λ → R ∪ {∞} (n ∈ N) messbar ist.
Λn
. Dann ist f genau dann messbar, wenn
S
(b) Sei A ⊂ EΛ und zu n ∈ N0 sei An := A∩Λn . Dann ist A = n∈N0 An (disjunkte Vereinigung)
und A ist genau dann messbar, wenn An ∈ B(Λn ) für jedes n ∈ N.
Unser Ziel ist es nun, W-Maße auf EΛ zu definieren, die von ähnlicher Gestalt wie in Proposition 1.4
sind. Sei UΛ : EΛ → R ∪ {∞} eine Abbildung, genannt (potentielle) Energie. Wir definieren
U0,Λ (vac) = U0,Λ und Un,Λ = UΛ |Λn . Wir werden stets stillschweigend die folgende Annahme
voraussetzen:
Annahme 2.2. Die Energie erfüllt die folgenden Eigenschaften:
(i) U0,Λ = UΛ (vac) = 0.
(ii) Für alle n ≥ 2 ist Un,Λ symmetrisch.
(iii) UΛ ist messbar.
Meist hängt die Energie nicht explizit vom Volumen ab und kann direkt auf Rd bzw. ERd definiert
werden, in diesem Fall lassen wir den Index Λ oft weg.
Beispiel 2.3 (Summe von Paarwechselwirkungen mit hartem Kern). Sei r0 > 0 und v : [0, ∞) →
R ∪ {∞} messbar. Es gelte v(r) = ∞ für r < r0 und v(r) < ∞ für r > r0 (keine Bedingung an
v(r0 )). Zu n ≥ 2 und x1 , . . . , xn ∈ Rd sei
X
Un (x1 , . . . , xn ) =
v(|xi − xj |).
(5)
1≤i<j≤n
Außerdem setzen wir U1 (x1 ) = 0 für alle x1 ∈ Rd und U0 = 0. Durch Einschränken auf Λn erhalten
wir Abbildungen Un,Λ und eine zugehörige Energie UΛ : EΛ → R ∪ {∞}, die die Annahme 2.2
erfüllt.
Definition 2.4. Sei (UΛ )Λ⊂Rd eine Familie von Energiefunktionen. Die Energie heißt stabil, falls
ein B > 0 existiert, so dass für alle Λ, alle n ∈ N und (x1 , . . . , xn ) ∈ Λn gilt
∀n ∈ N ∀(x1 , . . . , xn ) ∈ Λn :
Un,Λ (x1 , . . . , xn ) ≥ −Bn.
Beispiel 2.5. Nichtnegative Energien UΛ : EΛ → [0, ∞) ∪ {∞} sind immer stabil.
Beispiel 2.6. Die Energie des einfarbigen Widom-Rowlinson-Modells ist stabil, denn
Un,Λ (x1 , . . . , xn ) = |(
n
[
B(xi , 2)) ∩ Λ| − n|B(0, 2)| ≥ −n|B(0, 2)|
i=1
für alle n ∈ N, Λ ⊂ Rd und (x1 , . . . , xn ) ∈ Λn .
5
(6)
Beispiel 2.7. Seien v, r0 , Un wie in Beispiel
2.3. Es existiere eine monoton fallende nichtnegative
R∞
Abbildung ϕ : [r0 , ∞) → [0, ∞) mit r0 rd−1 ϕ(r)dr < ∞, so dass v(r) ≥ −ϕ(r) für alle r ≥ r0 .
Dann ist die zugehörige Energie stabil.
Definition 2.8. Sei (UΛ )Λ⊂Rd stabil, β, z > 0. Die großkanonische Zustandssumme ist
Z
∞
X
zn
e−βUn,Λ .
ΞΛ (β, z) := 1 +
n!
n
Λ
n=1
Das großkanonische Gibbsmaß auf Λ ist das W-Maß Pβ,z,Λ auf EΛ mit Pβ,z,Λ ({vac}) = 1/ΞΛ (β, z)
und
Z
∞
X
1
zn
Pβ,z,Λ (A) :=
e−βUn,Λ
ΞΛ (β, z) n=1 n! A∩Λn
für alle messbaren A ⊂ EΛ \ {vac}. Die Parameter β und z werden inverse Temperatur und
Aktivität (auch Fugazität) genannt.
Notation für Erwartungswerte: Sei f : EΛ → R ∪ {∞}, f0 = f (vac), fn = f |Λn . Wir setzen
Z
Z
∞
X
1
zn
hf iβ,z,Λ :=
f dPβ,z,Λ =
f0 +
e−βUn,Λ fn .
ΞΛ (β, z)
n! Λn
EΛ
n=1
(7)
sofern der Erwartungswert existiert. Wenn aus dem Kontext ersichtlich ist, bei welchem β, z, Λ
wir arbeiten, lassen wir oft die Indizes weg und schreiben verkürzt hf i.
Bemerkung 2.9. Aus der Stabilität der Energie folgt, dass für geeignetes B > 0 und alle Λ, β, z gilt:
ΞΛ (β, z) ≤ exp(zeβB |Λ|) < ∞. Für nicht stabile Energien kann die Zustandssumme divergieren
und das großkanonische Gibbsmaß ist im Allgemeinen nicht wohldefiniert.
Beispiel 2.10 (Ideales Gas). Sei UΛ ≡ 0 (keine Wechselwirkung). Dann ist ΞΛ (β, z) = exp(z|Λ|)
und für jedes n ∈ N, An ⊂ Λn messbar ist
Pβ,z,Λ (Λn ) =
(z|Λ|)n −z|Λ|
e
,
n!
Pβ,z,Λ (An | Λn ) =
|An |
.
|Λn |
(8)
Wir beobachten die folgenden elementaren Eigenschaften:
S
• Sei D = n∈N {(x1 , . . . , xn ) ∈ Λn | ∃i 6= j : xi = xj } die Menge der Konfigurationen, bei
denen zwei Teilchen (oder mehr) an exakt der gleichen Stelle sind. Dann gilt Pβ,z,Λ (D) = 0.
• Es gilt für alle n ≥ 2, σ ∈ Sn und beschränkte fn : Λn → R, dass
Z
Z
fn (xσ(1) , . . . , xσ(n) )dPβ,z,Λ (x) =
fn (x1 , . . . , xn )dPβ,z,Λ (x).
Λn
(9)
Λn
Die Nummerierung der Teilchen ist für das Gibbsmaß also irrelevant.
2.2
Der Druck und seine Ableitungen
Die großkanonische Zustandssumme tritt in der Definition des Gibbsmaßes zunächst als Normierungskonstante auf. Sie ist allerdings viel mehr als das: durch Ableiten bzgl. der Parameter erhält
man eine ganze Menge Informationen über Erwartungswerte, Momente usw., ganz ähnlich wie
bei erzeugenden Funktionen in der Wahrscheinlichkeitstheorie (vgl. Tabelle 1). Es stellt sich als
günstig heraus, mit dem Logarithmus der Zustandssumme zu arbeiten.
Definition 2.11. Sei (UΛ )Λ∈B(Rd ) eine stabile Energie und β, z > 0. Die Größe
pΛ (β, z) :=
1
log ΞΛ (β, z)
β|Λ|
heißt Druck bei Volumen Λ, inverser Temperatur β und Aktivität z.
6
Sei NΛ : EΛ → N0 die Anzahl Teilchen in Λ, also NΛ (vac) = 0 und NΛ (x1 , . . . , xn ) = n für alle
n ∈ N, (x1 , . . . , xn ) ∈ Λn .
Proposition 2.12. Sei (UΛ )Λ∈Bb (Rd ) stabil und β, z > 0. Dann gilt für alle Λ ∈ Bb (Rd ):
D (U − hU i)2 E
∂ 2 βpΛ
Λ
Λ
(β,
z)
=
∂β 2
|Λ|
β,z,Λ
∂ 2
D (N − hN i)2 E
Λ
Λ
z
.
pΛ (β, z) =
∂z
|Λ|
β,z,Λ
DU E
∂βpΛ
Λ
(β, z) = −
∂β
|Λ| β,z,Λ
DN E
∂
Λ
z βpΛ (β, z) =
∂z
|Λ| β,z,Λ
∂
Die Operation z ∂z
heißt Eulerableitung bzgl. z.
Λ
Beispiel 2.13 ((Ideales Gas)). Für das ideale Gas (UΛ ≡ 0) gilt βpΛ (β, µ) = z und h N
|Λ| i = z,
Λ
also βpΛ = h N
|Λ| i. Wer Vorkenntnisse in Thermodynamik hat, sollte hier die ideale Gasgleichung
pV = N kB T wiedererkennen.
Korollar 2.14. Seien (UΛ )Λ∈Bb (Rd ) stabil, β, z > 0. Es gilt für alle Λ ∈ Bb (Rd ):
Λ
(a) Die Energiedichte h U
|Λ| iβ,z,Λ ist eine monoton fallende Funktion von β.
Λ
(b) Die Teilchendichte h N
|Λ| iβ,z,Λ ist eine monoton wachsende Funktion von z.
Erinnerung: eine Abbildung f : R → R heißt konvex, falls für alle x, y ∈ R und alle t ∈ [0, 1]
gilt: f (tx + (1 − t)y) ≤ tf (x) + (1 − t)f (y). Ein praktisches hinreichendes Kriterium ist: wenn
f zweimal stetig differenzierbar ist und f 00 ≥ 0 auf R, dann ist f konvex. Konvexe Funktionen
haben viele schöne Eigenschaften, z.B. ist jeder kritische Punkt (=Nullstelle der ersten Ableitung)
automatisch ein globaler Minimierer.
Anstelle des Paares (β, z) arbeitet man auch mit (β, µ), wobei µ = β −1 log z ∈ R (äquivalent z = exp(βµ)). Der Parameter µ heißt chemisches Potential. Man mache sich mit Hilfe der
Kettenregel bewusst, dass für differenzierbare g gilt
∂
∂
g(β, eβµ ) = z βg(β, z).
∂µ
∂z
(10)
Der Druck ist eine konvexe Funktion des chemischen Potentials:
Korollar 2.15. Sei (UΛ )Λ∈Bb (Rd ) stabil. Dann ist für jedes Λ ∈ Bb (Rd ) und β > 0 die Abbildung
R 3 µ 7→ pΛ (β, eβµ ) konvex.
2.3
Korrelationsfunktionen
Im folgenden seien stets Λ ∈ Bb (Rd ), β, z > 0 und eine stabile Energie (UΛ )Λ⊂Rd gegeben, und
Pβ,z,Λ sei das zugehörige Gibbsmaß.
Definition 2.16. Sei n ∈ N. Die Abbildung ρn,Λ : Λn → [0, ∞), definiert durch
ρn,Λ (x1 , . . . , xn ) :=
1
z n e−βUn,Λ (x1 ,...,xn )
ΞΛ (β, µ)
Z
∞
X
+
m=n+1
Λm−n
zm
e−βUm,Λ (x1 ,...,xm ) dxn+1 · · · dxm .
(m − n)!
heißt n-Punkt-Korrelationsfunktion. Die Ein-Punkt-Korrelationsfunktion ρ1,Λ heißt Einteilchendichte.
Achtung:
7
R
• Die Einteilchendichte ist keine Wahrscheinlichkeitsdichte! Wir werden sehen, dass Λ ρ1,Λ (x)dx =
hNΛ i den Erwartungswert der Gesamtteilchenzahl ergibt; dieser ist im Allgemeinen nicht
gleich 1.
• Man kann zeigen, dass die 2-Punkt-Korrelationsfunktion ρ2,Λ die folgende Eigenschaft besitzt: seien A, B ⊂ Λ disjunkte Borelmengen und NA ,NB die Anzahl Teilchen in A bzw. B.
Dann gilt
Z
ρ2,Λ (x, y)dxdy = hNA NB i.
(11)
A×B
Erwartungswerte von Produkten hängen eng mit Kovarianzen (cov(NA , NB ) = hNA NB i −
hNA ihNB i) zusammen, diese wiederum mit Korrelationskoeffizienten. Es besteht also ein
Zusammenhang zwischen Korrelationsfunktionen und Korrelationskoeffizienten aus der Stochastik, aber die Korrelationsfunktion selbst ist kein Korrelationskoeffizient.
Beispiel 2.17. Für das ideale Gas (UΛ ≡ 0) gilt ρn,Λ (x1 , . . . , xn ) = z n .
Proposition 2.18.
(a) Die Funktionen ρn,Λ , n ≥ 2, sind symmetrisch.
(b) Es gilt für jedes n ∈ N:
Z
ρn,Λ (x1 , . . . , xn )dx1 · · · dxn = hNΛ (NΛ − 1) · · · (NΛ − n + 1)i.
Λn
(c) Es gilt für jede messbare Abbildung f : Λn → [0, ∞) ∪ {∞}:
Z
D
X
f (x1 , . . . , xn )ρn,Λ (x1 , . . . , xn )dx1 · · · dxn =
Λn
E
f (xi1 , . . . , xin ) .
1≤i1 ,...,in ≤NΛ
paarweise verschieden
Die Gleichung in (c) gilt ebenfalls, wenn f messbar mit Werten in R ∪ {∞} ist und der
Erwartungswert auf der rechten Seite existiert.
Wichtige Spezialfälle:
• Die Energie sei eine Summe von Paarwechselwirkungen v(|xi −xj |) wie in Beispiel 2.3. Wähle
n = 2 und f (x, y) = v(|x − y|). Man erhält
Z
v(|x − y|)ρ2,Λ (x, y)dxdy = 2hUΛ i.
(12)
Λ×Λ
• Sei A ⊂ Λ messbar. Wähle n = 1, f (x) = 1A (x). Man erhält
Z
ρ1,Λ (x)dx = hNA i.
(13)
A
• Sei A ⊂ Λ messbar und n ∈ N. Wähle f = 1An . Man erhält
Z
ρn,Λ (x1 , . . . , xn )dx1 · · · dxn = hNA (NA − 1) · · · (NA − n + 1)i.
(14)
An
Die rechte Seite ist das n-te faktorielle Moment der Zufallsvariablen NA . Die Korrelationsfunktionen werden wegen Gleichung (14) auch faktorielle Momentendichten genannt.
• Seien A, B ⊂ Λ disjunkte Borelmengen. Mit der Wahl n = 2, f (x, y) = 1A (x)1B (y) erhält
man die Gleichung (11).
8
Gibbsmaß
großkanonische Zustandssumme
Druck
Korrelationsfunktionen
Zufallsvariable X
wahrscheinlichkeitsbzw. momentenerzeugende Funktion
P∞
G(z) = n=0 P(X = n)z n , m(t) = E[exp(tX)]
kumulantenerzeugende Funktion ϕ(t) = log E[exp(tX)]
faktorielle Momente E[X(X − 1) · · · (X − k + 1)]
Tabelle 1: Formale Analogien zwischen Kenngrößen von Gibbsmaßen und Zufallsvariablen.
Vorschau: Clusterentwicklungen. Wie wir in den Beispielen 2.13 und 2.17 gesehen haben, kann
man den Druck und die Korrelationsfunktionen für das ideale Gas explizit berechnen. Für wechselwirkende Teilchen (d.h. Energiefunktionen, die nicht identisch null sind) ist das im Allgemeinen
nicht mehr der Fall. Allerdings kann man Potenzreihenentwicklungen herleiten. Z.B. werden wir
später sehen, dass für Energien wie in Bsp. 2.3 und hinreichend kleine z
βpΛ (β, z) = z +
∞
X
bn,Λ (β)z n
(15)
n=2
mit Koeffizienten
bn,Λ (β) =
Z
1 X 1
n!
|Λ| Λn
γ∈Cn
Y
(e−βv(|xi −xj |) − 1)dx1 · · · dxn .
(16)
1≤i<j≤n
{i,j}∈E(γ)
Cn ist die Menge der zusammenhängenden Graphen1 (ungerichtet) mit Knotenmenge {1, . . . , n},
E(γ) ist die Kantenmenge des Graphen γ. Der Term erster Ordnung in Gl. (15) entspricht dem
idealen Gas, weitere Terme können als Korrekturterme gegenüber der idealen Gasgleichung aufgefasst werden. Wenn wir nur den ersten Korrekturterm mitnehmen, erhalten wir
Z
z2 1
βpΛ (β, z) = z +
e−βv(|x−y|) − 1)dxdy + O(z 3 ).
(17)
2 |Λ| Λ2
Die Potenzreihen, die hier auftreten, heißen Clusterentwicklungen.
2.4
Ruelle-Schranken
Von nun an schränken wir uns auf Energien ein, die Summen von Paarwechselwirkungen sind.
Dabei soll das Paarpotential v stets die folgende Annahme erfüllen:
Annahme 2.19. Das Paarpotential v : [0, ∞) → R ∪ {∞} ist messbar und es existiert ein r0 ≥ 0,
so dass v(r) = ∞ für r < r0 und v(r) < ∞ für r > r0 . Außerdem gilt eine der folgenden zwei
Bedingungen:
(i) v(r) ≥ 0 für alle r ≥ 0.
(ii) Rr0 > 0 und es existiert eine monoton fallende nichtnegative Abbildung ϕ : [r0 , ∞) → ∞ mit
∞ d−1
r
ϕ(r)dr < ∞, so dass v(r) ≥ −ϕ(r) für alle r ≥ r0 .
r0
Sprechweise: wenn r0 > 0 sagt man, v besitze einen harten Kern.
Wie wir in Bsp. 2.3 gesehen haben, ist die zugehörige Energie stabil. Außerdem existiert ein B > 0,
so dass für alle n ∈ N und alle x0 , x1 , . . . , xn mit |xi − xj | ≥ r0 für alle i 6= j:
n
X
i=1
v(|xi − x0 |) ≥ −
n
X
ϕ(|xi − x0 |) ≥ −B.
(18)
i=1
1 Ein ungerichteter Graph γ ist ein Paar γ = (V, E), bestehend aus: (i) einer Menge V , (ii) einer Menge E ⊂
{{i, j} | i, j ∈ V, i 6= j}. Elemente von V heißen Knoten (englisch: vertex ), Elemente von E Kanten (englisch:
edge).
9
Satz 2.20. Sei v ein Paarpotential, U die zugehörige Energie, und β, z > 0. Dann existiert ein
ξ = ξ(β, z) > 0, so dass für alle Λ ∈ Bb (Rd ) die Korrelationsfunktionen ρn,Λ des Gibbsmaßes
Pβ,z,Λ der folgenden Schranke genügen:
∀x1 , . . . , xn ∈ Rd :
ρn,Λ (x1 , . . . , xn ) ≤ ξ n .
Man sagt, die Korrelationsfunktionen erfüllen eine Ruelle-Schranke.
Beweis. Sei
Wnk (y1 , . . . , yn ; x1 , . . . , xk ) :=
n X
k
X
v(|yi − xj |).
(19)
i=1 j=1
Es gilt für alle x ∈ (Rd )k und y ∈ (Rd )n
Un+k (y, x) = Un (y) + Wnk (y; x) + Uk (x).
(20)
Ferner gilt
Z
∞
X
zk
1
n −βUn (y)
1+
z e
e−β[Wkn (y;x)+Uk (x)] dx
ρn (y) =
ΞΛ (β, z)
k! Λk
k=1
D
E
= z n e−βUn (y) exp −βWnNΛ (y; x1 , . . . , xNΛ )
β,z,Λ
Wenn v ≥ 0 folgt sofort ρn ≤ ξ n mit ξ = z und wir sind fertig. Wenn Annahme 2.19(ii) gilt,
beobachten wir zunächst, dass wegen Gl. (18)
Un (y) + WnNΛ (y; x) =
n X
1 X
i=1
2
v(|yj − yi |) +
n
X
v(|xj − yi |) ≥ −Bn.
(21)
j=1
1≤j≤n
j6=i
sofern sämtliche Punkte aus y1 , . . . , yn , x1 , . . . , xNΛ Mindestabstand ≥ r0 zueinander vorweisen.
Gilt |yi − yj | < r0 für ein (i, j) mit i 6= j, so ist Un (y) = ∞ und die Ungleichung gilt ebenfalls.
Das Ereignis {∃(i, j) ∈ {1, . . . , NΛ }2 | i 6= j, |xi − xj | < r0 } hat wegen des harten Kerns die
Wahrscheinlichkeit 0. Wir folgern dann, dass ρn (y) ≤ ξ n mit ξ = z exp(βB).
3
Der thermodynamische Limes
Ab nun setzen wir stets voraus, dass die Energie eine Summe von Paarpotentialen wie in Bsp. 2.3
ist und das Paarpotential die Annahme 2.19 erfüllt.
3.1
Der thermodynamische Limes des Drucks
Zu Λ ∈ Bb (Rd ) und h > 0 sei
Vh (Λ) := {x ∈ Rd | dist(x, ∂Λ) ≤ h}
(22)
das Volumen des h-Randes von Λ.
Definition 3.1. Sei (Λn )n∈N eine Folge in Bb (Rd ). Die Folge heißt van-Hove-Folge, falls gilt:
lim |Λn | = ∞,
n→∞
Vh (Λn )
= 0.
n→∞ |Λn |
∀h > 0 : lim
Beispiel 3.2. Sei d = 2 und Λn = [0, n2 ] × [0, n]. Dann ist (Λn )n∈N eine van-Hove-Folge.
10
Satz 3.3. Seien β, z > 0. Das Paarpotential erfülle Annahme 2.19 und es existiere ein R > 0, so
dass v(r) ≤ 0 für alle r ≥ R. Dann existiert ein p(β, z) ∈ [0, ∞), so dass für jede van-Hove-Folge
(Λn )n∈N gilt:
lim pΛn (β, z) = p(β, z).
n→∞
Sprechweise: Wir sagen, “der thermodynamische Limes des Drucks existiert”, “der van-Hove-Limes
des Drucks existiert”, oder auch “pΛ (β, z) → p(β, z) wenn Λ → ∞ im van-Hove-Sinn”.
Lemma 3.4 (Supermultiplikativität der Zustandssumme). Seien β, z, v, R wie in Satz 3.3. Dann
gilt für alle disjunkten Λ1 , Λ2 ∈ Bb (Rd ) mit dist(Λ1 , Λ2 ) ≥ R:
ΞΛ1 ∪Λ2 (β, z) ≥ ΞΛ1 (β, z)ΞΛ2 (β, z).
Aus Lemma 3.4 folgt, dass − log ΞΛ1 ∪Λ2 (β, z) ≤ (−ΞΛ1 (β, z))+(− log ΞΛ2 (β, z)). Diese Eigenschaft
erinnert an subadditive Folgen: eine Folge (an )n∈N reeller Zahlen heißt subadditiv, falls für alle
n, m ∈ N gilt: am+n ≤ am + an . Fekete’s subadditives Lemma besagt, dass der Limes limn→∞ ann
in R∪{−∞} existiert und gleich inf n∈N ann ist. Besonders einfach ist die Existenz des Limes entlang
der Teilfolge nk = 2k einzusehen, denn an /n ist entlang dieser Folge monoton fallend.
Lemma 3.5 (Existenz des thermodynamischen Limes entlang spezieller Würfelfolgen). Seien
β, z, v, R wie in Satz 3.3. Sei L0 > 0 fest und zu n ∈ N sei Ln := 2n L0 + (2n − 1)R sowie
Wn := [0, Ln ]d . Dann existiert der Grenzwert
p(β, z) = lim pWn (β, z),
n→∞
und es gilt 0 ≤ p(β, z) < ∞.
Beweisideen für d = 2:
(j)
(1)
(4)
• Es gilt Ln+1 − 2Ln = R, also Wn+1 ⊃ ∪4j=1 Wn mit Wn , . . . , Wn
von Wn , die jeweils Abstand ≥ R zueinander haben.
verschobene Kopien
• Daraus folgt mit Hilfe der Monotonie von Zustandssummen bzgl. des Volumens (Λ0 ⊂ Λ ⇒
ΞΛ0 (β, z) ⊂ ΞΛ (β, z)), der Supermultiplikativität und der Translationsinvarianz der Energie:
ΞWn+1 (β, z) ≥ ΞWn (β, z)4 .
log ΞWn (β, z). Es gilt an ≤ β −1 z exp(βB) und an ≤ an+1 + εn mit εn =
Pn−1
). Wir schließen mit der Monotonie der Folge bn := an + k=1 εk .
• Sei an :=
−n
O(2
1
|Wn |
Um auf allgemeine van-Hove-Folgen zu kommen, versucht man, Mengen Λ durch Vereinigungen
von Würfeln zu approximieren. Zu a > 0 und k ∈ Zd sei W (k; a) := [k1 a, (k1 + 1)a) × · · · ×
[kd a, (kd + 1)a). Zu Λ ∈ Bb (Rd ) sei zudem
Na− (Λ) := #{k ∈ Zd | W (k; a) ⊂ Λ}
Na+ (Λ) := #{k ∈ Zd | W (k; a) ∩ Λ 6= ∅}.
(23)
Lemma 3.6. Sei (Λn )n∈N eine van-Hove-Folge. Dann gilt für jedes a > 0:
lim Na− (Λn ) = ∞,
n→∞
Na+ (Λn )
= 1.
n→∞ Na− (Λn )
lim
Aus dem Beweis des Lemmas ergibt sich auch
Na− (Λn )
N + (Λn )
1
= lim a
= d.
n→∞
n→∞
|Λn |
|Λn |
a
lim
11
(24)
Beweisideen zu Satz 3.3: Sei (Λn )n∈N eine van-Hove-Folge und (Lm )m∈N wie in Lemma 3.5. Man
zeigt, dass ein C > 0 existiert, so dass für alle m ∈ N und alle hinreichend großen n gilt:
d−1
log ΞΛn (β, z) ≥ NL−m (Λn ) log ΞWm (β, z) − CNL−m (Λn )Lm
d−1
log ΞΛn (β, z) ≤ NL+m (Λn ) log ΞWm (β, z) + CNL+m (Λn )Lm
.
(25)
d−1
Diese Ungleichungen sollen hier nicht hergeleitet werden; CLm
steht anschaulich für eine Schranke an die Wechselwirkung zwischen einem Würfel mit Seitenlänge Lm und dem Rest des Systems.
Mit Hilfe von Gl. (24) folgt im Limes n → ∞, dass für jedes feste m gilt:
1
1
log ΞΛn ≥ d log ΞWm (β, z) − CL−1
m
|Λn |
Lm
1
1
lim sup
log ΞΛn ≤ d log ΞWm (β, z) + CL−1
m .
Lm
n→∞ |Λn |
lim inf
n→∞
(26)
Nun können wir den Limes m → ∞ durchführen und erhalten dank Lemma 3.5
βp(β, z) ≤ lim inf
n→∞
Es folgt, dass
3.2
1
|Λn |
1
1
log ΞΛn (β, z) ≤ lim sup
log ΞΛn (β, z) ≤ βp(β, z).
|Λn |
n→∞ |Λn |
(27)
log ΞΛn (β, z) gegen βp(β, z) konvergiert.
Grenzwertsätze für die Teilchen- und Energiedichte
Nach Satz 3.3 existiert unter geeigneten Annahmen an das Paarpotential für alle β > 0 und
z > 0 der thermodynamische Limes p(β, z) des Drucks. Wir sprechen verkürzt vom Druck im
unendlichen Volumen oder auch einfach nur von dem Druck. Wir fassen den Druck als Abbildung
p : (0, ∞)2 → [0, ∞), (β, z) 7→ p(β, z) auf. Da punktweise Limites konvexer Funktionen konvex
sind, sind nach Proposition 2.12 und Korollar 2.15 die Abbildungen
(0, ∞) 3 β 7→ βp(β, z),
R 3 µ 7→ p(β, eβµ )
(28)
konvex.
Satz 3.7 (Konvergenz von Erwartungswerten). Das Paarpotential v erfülle die Voraussetzungen
von Satz 3.3. Sei (β ∗ , z ∗ ) ∈ (0, ∞)2 . Angenommen, p ist in (β ∗ , z ∗ ) partiell differenzierbar. Dann
gilt für jede van-Hove-Folge (Λn )n∈N
DU E
DN E
∂
Λn
Λn
∗ ∂
=
z
βp(β,
z)
,
lim
=
−
βp(β,
z)
lim
∗ ∗ .
∗
∗
∗
∗
n→∞ |Λn | β ∗ ,z ∗ ,Λn
n→∞
∂z
|Λn | β ,z ,Λn
∂β
(β ,z )
(β ,z )
Im Folgenden stehen f 0 (t0 +) und f 0 (t0 −) für rechts- und linksseitige Ableitungen, also f 0 (t0 +) =
(t0 )
(t0 )
limt&t0 f (t)−f
und f 0 (t0 −) = limt%t0 f (t)−f
.
t−t0
t−t0
Lemma 3.8. Sei I ⊂ R ein offenes Intervall und fn : I → R, n ∈ N eine Folge konvexer,
differenzierbarer Funktionen. Die Folge konvergiere punktweise gegen eine Grenzfunktion f : I →
R. Dann ist die Grenzfunktion f konvex, und es gilt für alle t0 ∈ I
f 0 (t0 −) ≤ lim inf fn0 (t0 ) ≤ lim sup fn0 (t0 ) ≤ f 0 (t0 +).
n→∞
n→∞
Wenn f 0 in t0 differenzierbar ist, dann folgt sofort limn→∞ fn0 (t0 ) = f 0 (t0 ), d.h. in diesem Fall
können Differenziation und Grenzwertbildung vertauscht werden.
Bemerkung 3.9. Ohne Zusatzvoraussetzungen an die Differenzierbarkeit von des Drucks gilt stets
Folgendes: sei g(µ) := p(β ∗ , exp(β ∗ µ)) und ρ+ (β ∗ , z ∗ ) = g 0 (µ∗ +), ρ− (β ∗ , z ∗ ) = g 0 (µ∗ −). Dann gilt
DN E
DN E
Λn
Λn
ρ− (β ∗ , z ∗ ) ≤ lim inf
≤
lim
sup
≤ ρ+ (β ∗ , z ∗ ).
(29)
n→∞
|Λn | β ∗ ,z∗ ,Λn
|Λn | β ∗ ,z∗ ,Λn
n→∞
Eine analoge Aussage gilt für die Energiedichte.
12
Satz 3.10 (Konvergenz in Wahrscheinlichkeit). Das Paarpotential v erfülle die Voraussetzungen
von Satz 3.3. Sei (β ∗ , z ∗ ) ∈ (0, ∞)2 . Definiere ρ± (β ∗ , z ∗ ) wie in Bemerkung 3.9. Dann gilt für
jede van-Hove-Folge (Λn )n∈N und jedes ε > 0:
N
NΛn Λn
= 0.
< ρ− (β ∗ , z ∗ ) − ε oder ρ+ (β ∗ , z ∗ ) + ε <
lim Pβ ∗ ,z∗ ,Λn
n→∞
|Λn |
|Λn |
N
Wenn p in (β ∗ , z ∗ ) partiell differenzierbar ist, dann konvergiert |ΛΛnn| n∈N in Wahrscheinlichkeit
gegen ρ− (β ∗ , z ∗ ) = ρ+ (β ∗ , z ∗ ).
Eine analoge Aussage gilt für die Energiedichte.
Wichtigste Beweiszutat für den Satz 3.10 ist die Markovungleichung, die hier wie folgt angewendet wird: es gilt für alle t > 0
D ∗
E
N
∗
∗ ∗
Λn
≥ ρ+ (β ∗ , z ∗ ) + ε ≤ e−β |Λn |t[ρ+ (β ,z )+ε] eβ tNΛn
Pβ ∗ ,z∗ ,Λn
|Λn |
β ∗ ,z ∗ ,Λn
∗
∗
∗
∗ ∗
ΞΛ (β , z exp(β ∗ t))
= e−β |Λn |t[ρ+ (β ,z )+ε] n
ΞΛn (β ∗ , z ∗ )
h
i
= exp −β ∗ |Λn | gn (µ∗ + t) − gn (µ∗ ) − tρ+ (β ∗ , z ∗ ) − tε .
Bemerkung 3.11. Der Beweis von Satz 3.10 verwendet Ideen, die etwas allgemeiner in der Theorie
der großen Abweichungen weiter ausgebaut werden. Sei (Xn )n∈N eine Folge von Zufallsvariablen
mit der Eigenschaft E[exp(tXn )] < ∞ für alle t ∈ R und n ∈ N, sowie (γn )n∈N eine Folge positiver
Zahlen mit limn∈→∞ γn = ∞. Angenommen, der Limes
1
log E exp(tγn Xn )
n→∞ γn
ϕ(t) := lim
(30)
existiert für alle t ∈ R. Dann ist ϕ(t) konvex. Die Funktion I(x) := supt∈R (tx − ϕ(t)) heißt
Legendre-Transformierte von ϕ. Es gilt für jedes x > ϕ0 (0+)
lim sup
n→∞
1
log P(Xn ≥ x) ≤ −I(x) < 0,
γn
(31)
die Wahrscheinlichkeit, dass Xn ≥ x > ϕ0 (0+) geht also in etwa wie exp(−γn I(x)) gegen 0. Den
Zusammenhang mit Satz 3.10 erkennt man mit Xn := NΛn /|Λn |, γn := β|Λn | und
D
E
1
log etβNn
= p(β, zetβ ) − p(β, z) = p̂(β, µ + t) − p̂(β, µ)
(32)
ϕ(t) = lim
n→∞ β|Λn |
β,z,Λn
mit z = exp(βµ), p̂(β, µ) = p(β, z).
Zwischenfazit: Aus dem Druck ist also auch nach dem thermodynamischen Limes eine Menge an
Information herauszulesen. Differenzierbarkeit geht einher mit Grenzwertsätzen für die Teilchenund Energiedichte. Punkte, in denen die Ableitung springt (ρ+ 6= ρ− ), entsprechen Sprüngen im
Verhalten des Teilchensystems.
4
4.1
Wahrscheinlichkeitsmaße im unendlichen Volumen
Der Konfigurationsraum Γ
Sei
Γ = {γ ⊂ Rd | ∀K ⊂ Rd kompakt : #γ ∩ K < ∞}
(33)
der Raum der lokal endlichen Punktkonfigurationen. Wir nennen Γ den Konfigurationsraum. Man
stelle sich ein Element γ ∈ Γ als Sammlung von Punkten oder Teilchenpositionen vor. Konfigurationen, bei denen sich in einem beschränkten Bereich unendlich viele Teilchen häufen, lassen wir
nicht zu.
13
Jedes γ ∈ Γ ist entweder leer, endlich oder abzählbar unendlich. Zu B ∈ Bb (Rd ) sei
NB : Γ → N 0 ,
γ 7→ NB (γ) := #(γ ∩ B)
(34)
die Anzahl Punkte in B. Als σ-Algebra wählen wir die kleinste σ-Algebra F, die sämtliche Mengen
von der Gestalt {γ ∈ E | NB (γ) = k}, B ∈ Bb (Rd ), enthält. Äquivalent hierzu ist die Forderung,
dass F die kleinste σ-Algebra ist, bzgl. der sämtliche Abbildungen NB , B ∈ Bb (Rd ) messbar sind.
Satz 4.1. Seien P und Q zwei W-Maße auf (Γ, F). Dann ist P = Q genau dann, wenn für alle
m ∈ N, k1 , . . . , km ∈ N0 und B1 , . . . , Bm ∈ Bb (Rd ):
P NB1 = k1 , . . . , NBm = km = Q NB1 = k1 , . . . , NBm = km
W-Maße auf (Γ, F) sind also eindeutig durch die gemeinsamen Verteilungen der Zählvariablen NB
bestimmt.
4.2
Faktorielle Momente und Korrelationsfunktionen
Definition 4.2. Sei P ein W-Maß auf (Γ, F) und n ∈ N.
• Das n-te faktorielle Momentenmaß ist das Maß µn auf ((Rd )n , B((Rd )n ) mit
h
i
X
µn (B) = E
1B (x1 , . . . , xn )
x1 ,...,xn ∈γ
paarweise verschieden
h
i
= E #{(x1 , . . . , xn ) ∈ γ n ∩ B | x1 , . . . , xn paarweise verschieden}
für alle Borelmengen B ⊂ (Rd )n .
• Wenn das n-te Momentenmaß absolutstetig bezüglich des Lebesguemaßes ist, so heißt die
zugehörige Radon-Nikodým-Ableitung ρn : (Rd )n → [0, ∞) n-Punkt-Korrelationsfunktion,
auch n-te faktorielle Momentendichte.
• Für n = 1 heißt µ1 auch Intensitätsmaß, ρ1 : Rd → [0, ∞) heißt Einteilchendichte.
Es gilt für jede Borelmenge A ⊂ Rd
Z
µn (A × · · · × A) =
ρn (x)dx = E NA (NA − 1) · · · (NA − n + 1)
(35)
An
und für jede messbare nichtnegative Abbildung f : (Rd )n → [0, ∞),
Z
Z
h
X
f (x)dµn (x) =
f (x)ρn (x)dx = E
(Rd )n
(Rd )n
i
f (x1 . . . , xn ) .
(36)
x1 ,...,xn ∈γ
paarweise verschieden
Die letzte Gleichung gilt auch für messbare Abbildungen mit Werten in R ∪ {∞}, sofern der Erwartungswert auf der rechten Seite existiert.
Das folgende hinreichende Kriterium gewährleistet, dass das W-Maß P eindeutig durch seine Korrelationsfunktionen bestimmt ist.
Definition 4.3. Sei P ein W-Maß auf Γ und ξ > 0. Wir sagen, P erfüllt die Bedingung (Rξ ), falls
alle faktoriellen Momentenmaße µn , n ∈ N, absolutstetig sind und für die Korrelationsfunktionen
gilt:
ρn (x1 , . . . , xn ) ≤ ξ n
für alle n ∈ N und Lebesgue-fast alle (x1 , . . . , xn ) ∈ (Rd )n .
14
Satz 4.4. Sei P, Q W-Maße auf (E, F), die die Bedingung (Rξ ) für ein geeignetes ξ > 0 erfüllen.
Dann gilt P = Q genau dann, wenn die Korrelationsfunktionen von P und Q identisch sind (bis
auf Lebesgue-Nullmengen).
Für den Beweis greifen wir auf Laplacetransformationen zurück. Sei X = (X1 , . . . , Xk ) ein Zufallsvektor mit Werten in [0, ∞)k , dann ist die Laplacetransformierte von X die Abbildung
LX : [0, ∞)k → R,
(λ1 , . . . , λk ) 7→ LX (λ1 , . . . , λk ) = E[e−
Pk
j=1
λj Xj
].
(37)
Laplacetransformierte haben die folgende schöne Eigenschaft: seien X, Y zwei Zufallsvektoren mit
d
Werten in [0, ∞)k . Dann gilt X = Y genau dann, wenn LX = LY auf [0, ∞)k (siehe Kallenberg [9]
Kapitel 4).
Lemma 4.5. Sei ξ > 0 und P ein
R W-Maß auf (Γ, F), dass die Bedingung (Rξ ) erfüllt. Sei
f : Rd → [0, ∞) messbar. Es gelte Rd | exp(−f (x)) − 1|dx < ∞. Seien ρn , n ∈ N, die Korrelationsfunktionen von P . Dann gilt
Z Y
n
∞
h
X
i
X
1
e−f (xj ) − 1 ρn (x1 , . . . , xn )dx.
E exp −
f (x) = 1 +
n!
n
B j=1
x∈γ
n=1
Die uneigentlichen Integrale und die Reihe auf der rechen Seite sind absolut konvergent.
Beweis. Es gilt
Z
Z
∞
n
∞
X
Y
X
−f (x )
1
1
j
e
− 1 ρn (x)dx ≤ 1 +
(ξ
|e−f (x) − 1|dx)n
1+
n!
n!
d )n
d
(R
R
n=1
n=1
j=1
Z
= exp ξ
|e−f (x) − 1|dx < ∞, (38)
Rd
also sind die Integrale und die Reihe absolut konvergent. Als nächstes betrachten wir eine Funktion
f mit der Zusatzannahme, dass eine beschränkte Borelmenge B existiert, so dass f außerhalb von
B verschwindet. Dann ist
P
P
E e− x∈γ f (x) = E e− x∈γ∩B f (x)
h Y
=E
1 + e−f (x) − 1
x∈γ∩B
NB (γ)
h
X
=E 1+
X
n
Y
(e−f (xj ) − 1)
i
n=1 {x1 ,...,xn }⊂γ∩B j=1
∞
h
X
1
=E 1+
n!
n=1
X
x1 ,...,xn ∈γ∩B
paarweise verschieden
n
Y
i
(e−f (xj ) − 1) .
j=1
In der letzten Zeile vereinbaren wir, dass die Summe über die leere Menge gleich 0 ist; damit
ist der Summand für n > NB (γ) gleich 0. Man prüft nun, dass Summation und Bildung des
Erwartungswertes vertauscht werden dürfen, verwendet Gl. (36) und folgert, dass die Gleichung
des Lemmas gilt.
R
Für allgemeine f mit Rd | exp(−f (x)) − 1|dx < ∞ und k ∈ N setzen wir fk := f 1{|x|≤k} . Es
gilt für jedes k ∈ N
Z Y
∞
n
h
X
i
X
1
fk (x) = 1 +
e−fk (xj ) − 1 ρn (x1 , . . . , xn )dx.
E exp −
n! B n j=1
x∈γ
n=1
15
(39)
Ferner gilt fk → f bei k → ∞ (punktweise). Außerdem gilt | exp(−fk (x)) − 1| ≤ | exp(−f (x)) − 1|
für alle k und alle x. Mit Hilfe des Satzes über majorisierte Konvergenz folgert man, dass die
rechte Seite in Gl. (39) konvergiert:
Z Y
Z Y
n
n
∞
∞
X
X
1
1
−fk (xj )
lim 1 +
e
− 1 ρn (x)dx = 1 +
e−f (xj ) − 1 ρn (x)dx. (40)
k→∞
n!
n!
n
n
B j=1
B j=1
n=1
n=1
Die linke Seite in Gl. (39) behandeln wir ebenfalls mit majorisierter Konvergenz. Es gilt für alle
γ ∈ Γ und k ∈ N
P
Y
Y
e− x∈γ fk (x) ≤
1 + |e−fk (x) − 1|) ≤
1 + |e−f (x) − 1|
(41)
x∈γ
x∈γ
Um majorisierte Konvergenz anwenden zu können, müssen wir prüfen, dass der Erwartungswert
des letzten Ausdrucks endlich ist. Sei g(x) = exp(−f (x)) − 1 und gk (x) = exp(−fk (x)) − 1. Es gilt
|gk | ≤ |g| auf ganz Rd . Nach Fatou’s Lemma gilt
hY
hY
i
i
E
(42)
1 + |g(x)| ≤ lim inf E
1 + |gk (x)| .
x∈γ
k→∞
x∈γ
Von der rechten Seite zeigt man nun aber analog zu Gl. (39) und (40) sowie (38), dass
Z
n
∞
hY
Y
X
i
1
|g(xj )|ρn (x)dx < ∞.
1 + |gk (x)| = 1 +
lim E
k→∞
n! (Rd )n j=1
x∈γ
n=1
(43)
Q
Nach Gl. (42) ist also E[ x∈γ (1 + |e−f (x) − 1|)] < ∞, und nach Gl. (41) und majorisierter Konvergenz folgt
i
i
h P
h P
(44)
lim E e− x∈γ fk (x) = E e− x∈γ f (x) .
k→∞
Der noch zu zeigende Teil des Lemmas folgt nun aus den Gleichungen (39), (40) und (44).
P
Bemerkung
P 4.6. Für f ≥ 0 gilt exp(− x∈γ f (x)) ≤ 1 für alle γ ∈ Γ, insbesondere ist L[f ] :=
E[exp(− x∈γ f (x))] endlich. Das Funktional f 7→ L[f ] heißt Laplacefunktional. Lemma 4.5 ist
analog zu einer ähnlichen Formel für Zufallsvariablen: sei X eine nichtnegative Zufallsvariable. Es
gelte E[X(X − 1) · · · (X − n + 1)] ≤ ξ n für ein ξ > 0 und alle k ∈ N. Dann ist für alle λ ≥ 0
LX (λ) = E[e−λX ] = 1 +
∞
X
1 −λ
(e − 1)n E[X(X − 1) · · · (X − n + 1)]
n!
n=1
(45)
mit absolut konvergenter Reihe.
d
Beweis von Satz 4.4. Seien k ∈ N, BP
1 , . . . , Bk ⊂ R beschränkte Borelmengen, und λ1 , . . . , λk ≥ 0.
k
Wir wenden Lemma 4.5 auf f :=
j=1 λj 1Bj an und folgern, dass die Laplacetransformierte
des Zufallsvektors (NB1 , . . . , NBk ) eindeutig durch die faktoriellen Momentenmaße bestimmt ist.
Daraus folgt, dass die Verteilung des Zufallsvektors ebenfalls eindeutig durch die µn ’s bestimmt
ist, und wegen Satz 4.1 ist auch das W-Maß P eindeutig bestimmt.
Für spätere Zwecke überlegen wir uns noch eine einfache Konsequenz der Ruelle-Schranke.
Lemma 4.7. Sei ξ > 0 und P ein W-Maß auf Γ, dass der Bedingung (Rξ ) genügt. Zu t > 0 sei
c := ξ(et − 1). Es gilt für alle B ∈ Bb (Rd )
∀k ∈ N :
P(NB ≥ k) ≤ exp(c|B| − kt).
16
(46)
Beweis. Wir verwenden die Markov-Ungleichung für NB . Sei t > 0. Es gilt
P(NB ≥ k) ≤ e−tk E[etNB ].
(47)
sowie
∞
h
i
X
1
E[etNB ] = E[(1 + et − 1)NB ] = E 1 +
NB (NB − 1) · · · (NB − n + 1)(et − 1)n
n!
n=1
=
∞
X
1 t
(e − 1)n E NB (NB − 1) · · · (NB − n + 1) .
n!
n=0
Erwartungswerte und Summation durften vertauscht werden, da alle Terme nichtnegativ sind. Aus
der Bedingung (Rξ ) und Gl. (35) folgt nun
Z
E[NB (NB − 1) · · · (NB − n + 1)] =
ρn (x)dx ≤ (|ξ|B)n ,
(48)
Bn
also ist E[etNB ] ≤ exp(ξ|B|(et − 1)) = exp(c|B|). Das Lemma folgt nun aus (47).
4.3
Lokale Konvergenz von Wahrscheinlichkeitsmaßen
Definition 4.8. Eine Abbildung G : Γ → R heißt lokal, falls ein B ∈ Bb (Rd ) existiert, so dass
für alle γ, γ 0 ∈ Γ gilt:
γ ∩ B = γ 0 ∩ B ⇒ F (γ) = F (γ 0 ).
(49)
(Äquivalent: F (γ) = F (γ ∩ B) für alle γ ∈ Γ.) Lokale Funktionen spielen eine ähnliche Rolle wie
Zylinderfunktionen bei unendlichen Produkträumen.
Definition 4.9. Sei (Pn )n∈N eine Folge von W-Maßen auf Γ und P ein weiteres W-Maß auf
Γ. Wir sagen, (Pn )n∈N konvergiert lokal gegen P , wenn für jede lokale beschränkte Abbildung
f : Γ → R gilt:
Z
Z
f (γ)dPn (γ) =
lim
n→∞
f (γ)dP (γ).
Γ
(50)
Γ
loc
Notation: Pn −→ P .
Lemma 4.10. Sei ξ > 0 und (Pn )n∈N eine Folge von W-Maßen auf Γ, die der Bedingung (Rξ )
genügen. Angenommen (Pn )n∈N konvergiert lokal gegen ein W-Maß P auf Γ. Dann erfüllt der
Grenzwert P ebenfalls die Bedingung (Rξ ).
Beweis. Zunächst überlegen wir uns, dass die Konvergenz (50) für eine größere Funktionenklasse
als in der Definition gilt. Sei g : Γ → R eine lokale messbare Funktion. Es existiere ein B ∈ Bb (Rd )
und C, a > 0, so dass
|g(γ)| ≤ C exp(aNB (γ)) (γ ∈ Γ).
(51)
R
Zu
R m ∈ N sei gm (γ) :=2a1{NB (γ)≤m} g(γ). Dann ist gm beschränkt und lokal, also gilt limn→∞ Γ gm dPn =
g dP . Sei c := ξ(e − 1). Mit Lemma 4.7 erhalten wir für alle n, m ∈ N:
Γ m
Z
|g − gm |dPn ≤ C
Γ
∞
X
∞
X
eaj Pn (NB = j) ≤ C
j=m+1
eaj ec|B|−2aj = Cec|B|
j=m+1
∞
X
e−aj =: εm .
j=m+1
R
Völlig analog prüft man, dass Γ |g − gm |dP ≤ εm . Es folgt
Z
Z
Z
Z
gdPn − gdP | ≤ 2εm + gm dPn − gm dP .
Γ
Γ
Γ
17
Γ
(52)
Wir lassen erst n → ∞ und dann m → ∞ (beachte εm → 0) und folgern, dass die Konvergenz (50)
auch für die Funktion g mit Wachstumsbedingung (51) gilt.
(n)
Seien nun ρk , k ∈ N, die Korrelationsfunktionen von Pn , und µk , k ∈ N, die faktoriellen Momentenmaße von P . Sei k ∈ N, B ∈ Bb (Rd ) und f : (Rd )k → [0, ∞) eine beschränkte nichtnegative
Funktion, die auf (Rd )k \ B k verschwindet. Sei
X
f (x1 , . . . , xk ).
(53)
g(γ) =
(x1 ,...,xk )∈γ k
paarweise verschieden
Dann ist g lokal und |g(γ)| ≤ (sup |f |) NBk(γ) , also ist g(γ) durch ein Polynom in NB beschränkt.
Da Polynome langsamer wachsen als Exponentialfunktionen, gilt insbesondere die Abschätzung (51).
Also ist
Z
Z
Z
Z
(n)
lim
f (x)ρk (x)dx = lim
g(γ)dPn (γ) =
g(γ) =
f (x)dµk (x).
(54)
n→∞
n→∞
(Rd )n
Γ
Γ
(Rd )k
R
R
Es folgt (Rd )k f (x)dµk (x) ≤ (Rd )k f (x)ξ k dx für alle nichtnegativen, beschränkten Funktionen f ,
die außerhalb einer beschränkten Menge verschwinden. Hieraus wiederum folgt, dass µk absolutstetig bzgl. des Lebesgue-Maßes ist und die Dichte ρk Lebesgue-fast überall kleiner oder gleich ξ k
ist.
R
Sei L1 (Rm ) der Raum der messbaren Funktionen f : Rm → R mit Rm |f (x)|dx < ∞.
Satz 4.11. Seien ξ > 0 und P , Pn , (n ∈ N) W-Maße auf Γ, die die Bedingung (Rξ ) erfüllen.
(n)
Seien ρk , ρk die zugehörigen Korrelationsfunktionen. Dann gilt
Z
Z
loc
(n)
Pn −→ P ⇔ ∀k ∈ N ∀f ∈ L1 ((Rd )k ) : lim
f (x)ρk (x)dx =
f (x)ρk (x)dx.
n→∞
(Rd )k
(Rd )k
Beweisskizze. “⇒”: Es gelte Pn → P . Aus dem Beweis von Lemma 4.10 wissen wir, dass die
zu zeigende Konvergenz für beschränkte Abbildungen f : (Rd )k → R gilt, die außerhalb einer
beschränkten Menge B k verschwinden. Zu f ∈ L1 (Rd ) und M > 0 definieren wir
(
f (x),
|f (x)| ≤ M und |x| ≤ M,
fM (x) :=
(55)
0,
sonst.
Es gilt für alle n, M
Z
(Rd )k
(n)
|f (x) − fM (x)|ρk (x)dx ≤ ξ k
Z
|f (x) − fM (x)|dx.
(56)
(Rd )k
Diese obere Schranke ist zum einen unabhängig von n und geht zum anderen bei M → ∞ nach
dem Satz der majorisierten Konvergenz gegen 0 (f − fM → 0 punktweise, |f − fM | ≤ |f |, |f |
integrierbar). Wir schließen mit einem ε/3-Argument ähnlich wie im Beweis von Lemma 4.10.
“⇐”: Wir greifen vorweg und bedienen uns der Ergebnisse von Abschnitt 4.4. Sei G : Γ → R
eine beschränkte lokale Abbildung. Dann können der Erwartungswert von G bzgl. Pn und P wegen
Lemma 4.17 eine Funktion F : Γ → R mit den Eigenschaften: (i) es existiert B ∈ Bb (Rd ), so dass
F (γ) 6= 0 ⇒ γ ⊂ B, (ii) |F (γ)| ≤ C2NB (γ) für eine geeignete Konstante C > 0, und (iii) der Erwartungswert von G kann über Integrale von F ({x1 , . . . , xk } gegen Korrelationsfunktionen gemäß
Lemma 4.15 berechnet werden. Mit Hilfe von Lemma 4.15 zeigt man, dass Konvergenz von Korrelationsfunktionen auch Konvergenz von Erwartungswerten lokaler beschränkter Zufallsgrößen
impliziert.
Aus Satz 4.11 und dem Satz der majorisierten Konvergenz folgt, dass unter der Bedingung (Rξ ) die
punktweise Konvergenz der Korrelationsfunktionen hinreichend für die Konvergenz der W-Maße
ist.
18
Satz 4.12. Sei ξ > 0 und (Pn )n∈N eine Folge von W-Maßen auf Γ, die die Bedingung (Rξ )
erfüllen. Dann besitzt die Folge (Pn ) eine konvergente Teilfolge.
Die Ruelle-Schranke (Rξ ) ist in diesem Sinne also ein hinreichendes Kriterium für relative Folgenkompaktheit bzgl. der Topologie der lokalen Konvergenz im Raum der W-Maße auf Γ .
Für den Beweis des Satzes sei auf [24] verwiesen. Der Beweis beruht auf einer Aussage über
beschränkte Funktionen, die mit Hilfe des Satzes von Alaoglu-Bourbaki aus der Funktionalanalysis (genauer: aus der Theorie der lokalkonvexen Vektorräume) bewiesen wird: seien k ∈
N und (ϕn )n∈N eine Folge gleichmäßig beschränkter messbarer Funktionen von Rk → R, d.h.
(n)
supn∈N supx∈Rk |ϕn (x)| < ∞ (man denke etwa an ϕn = ρk ). Dann existiert eine Teilfolge
(ϕnj )j∈N undR eine beschränkte Funktion
ϕ, so dass für jede integrierbare Funktion f ∈ L1 (Rm )
R
gilt: limj→∞ Rk ϕnj (x)f (x)dx = Rm ϕ(x)f (x)dx.
4.4
K-Transformation. Janossy-Dichten
K-Transformation
Nach Satz 4.4 ist unter der Bedingung (Rξ ) ein W-Maß auf Γ eindeutig durch seine Korrelationsfunktionen festgelegt. Insbesondere sind also auch Erwartungswerte eindeutig durch die Korrelationsfunktionen festgelegt. Für spezielle Zufallsgrößen ergibt sich das direkt aus Gl. (36). Eine
natürliche Frage ist nun, ob sich jede messbare Abbildung F : Γ → R als Kombination solch
spezieller Zufallsgrößen darstellen lässt. Diese Frage soll hier partiell beantwortet werden.
Zunächst benötigen wir noch einige Bezeichnungen. Sei
Γ0 = {γ ∈ Γ | #γ < ∞} = {γ ⊂ Rd | #γ < ∞}
(57)
die Menge der endlichen Konfigurationen. Wir nennen eine Abbildung f : Γ0 → R messbar, wenn
die Fortsetzung F : Γ → R, definiert durch F (γ) = f (γ)1Γ0 (γ), messbar bzgl. F ist. Mit Lloc (Γ)
ist der Raum der messbaren lokalen Abbildungen G : Γ → R. Lls (Γ0 ) ist der Raum der messbaren
Abbildungen F : Γ0 → R, für die ein B ∈ Bb (Rd ) existiert, so dass F (γ) = 0 für alle γ ∈ Γ0 , die
nicht in B enthalten sind. Der Index in Lls (Γ0 ) steht für “locally supported”.
Definition 4.13. Die K-Transformierte G = KF von F ∈ Lls (Γ0 ) ist die Abbildung G : Γ → R
definiert durch
X
G(γ) = (KF )(γ) =
F (γ 0 ).
(58)
γ 0 ⊂γ
Es gilt
G(γ) = (KF )(γ) = F (∅) +
∞
X
1
n!
n=1
X
F ({x1 , . . . , xn }).
(59)
(x1 ,...,xn )∈γ n
paarweise verschieden
d
Beispiel 4.14. Sei B ∈ Bb (Rd ) und f : Rd →
Q R messbar mit f = 0 auf R \B. Definiere F : Γ0 → R
durch F (∅) = 1 und F ({x1 , . . . , xn }) := x∈γ (exp(−f (x))P− 1). Es gilt F ∈ Lls (Γ0 ). Aus dem
Beweis von Lemma 4.5 ergibt sich, dass (KF )(γ) = exp(− x∈Γ f (x)).
Gl. (36) lässt sich nun wie folgt verallgemeinern.
Lemma 4.15. Sei P ein W-Maß auf Γ mit Korrelationsfunktionen ρn , n ∈ N. Sei F ∈ Lls (Γ)
nichtnegativ. Dann gilt
Z
∞
X
1
(KF )(γ)dP(γ) = F (∅) +
F ({x1 , . . . , xn })ρn (x1 , . . . , xn )dx1 · · · dxn .
n! (Rd )n
Γ
n=1
Z
(60)
Die Gleichung gilt ebenfalls für reellwertige F , sofern die Integrale und die Reihe auf der rechten
Seite absolut konvergent sind.
19
Proposition 4.16. K bildet Lls (Γ0 ) bijektiv nach Lloc (Γ) ab. Die Umkehrabbildung K −1 ist gegeben durch
X
(K −1 G)(γ) =
(−1)#(γ\η) G(η) (G ∈ Lloc (Γ), γ ∈ Γ0 ).
η⊂γ
Beweis.
2
Sei F ∈ Lls (Γ0 ). Für F ∈ Lls (Γ0 ) und B ∈ Bb (Rd ) mit F (γ) 6= 0 ⇒ γ ⊂ B:
X
X
(KF )(γ) =
F (γ 0 ) =
F (γ 0 ) = (KF )(γ ∩ B).
γ 0 ⊂γ
(61)
γ 0 ⊂γ∩B
Der letzte Ausdruck hängt nur von γ ∩ B ab, also ist KF lokal
P und K bildet Lls (Γ0 ) in den Raum
Lloc (Γ) ab. Zu G ∈ Lloc (Γ) und γ ∈ Γ0 definiere (QG)(γ) = η⊂γ (−1)#(γ\η) G(η) Für jedes feste
γ ∈ Γ0 gibt es nur endlich viele Teilmengen η ⊂ γ, also ist die Summe über η endlich und QG ist
wohldefiniert. Sei B ∈ Bb (Rd ) mit G(γ) = G(γ ∩ B) für alle γ ∈ Γ. Sei γ ∈ Γ0 mit γ ∩ B c 6= ∅. Wir
zerlegen η ⊂ γ in η0 = η ∩ B und χ = η ∩ B c so dass #(γ \ η) = #((γ ∩ B c ) \ χ) + #((γ ∩ B) \ η0 ).
Es gilt für γ ∩ B c 6= ∅
X
X
X
c
(QG)(γ) =
(−1)#(γ\η) G(η ∩ B) =
G(η0 )(−1)#(γ∩B\η0 )
(−1)#(γ∩B \χ) . (62)
η⊂γ
χ⊂γ∩B c
η0 ⊂γ∩B
Nun gilt für jede nichtleere Menge A
X
(−1)#A\X = (−1 + 1)#A = 0.
(63)
X⊂A
Es folgt (QG)(γ) = 0 für γ ∩ B c 6= ∅. Also bildet Q den Raum Lloc (Γ) in den Raum Lls (Γ0 ) ab.
Für F ∈ Lls (Γ0 ) und γ ∈ Γ0 gilt
X
X
X
X
(QKF )(γ) =
(−1)#(γ\η)
F (ζ) =
F (ζ)
(−1)#(γ\η)
η⊂γ
=
X
ζ⊂η
F (ζ)
ζ⊂γ
X
(−1)
ζ⊂γ
#χ
=
X
η: ζ⊂η⊂γ
F (ζ)(1 + (−1))#(γ\ζ) = F (γ).
ζ⊂γ
χ⊂γ\ζ
Sei G ∈ Lloc (Γ) und B ∈ Bb (Rd ) mit G(γ) = G(γ ∩ B). Es gilt
X X
X
KQG(γ) =
(−1)#(η\ζ) G(ζ) =
G(ζ)
η⊂γ∩B ζ⊂η
ζ⊂γ∩B
X
(−1)#(η\ζ)
η:ζ⊂η⊂γ∩B
= G(γ ∩ B) = G(γ).
Wir haben QK = idLls (Γ0 ) und KQ = idLloc (Γ) gezeigt. Es folgt, dass K bijektiv mit Umkehrabbildung K −1 = Q ist.
Es bleibt zu klären, ob Lemma 4.15 für F = K −1 G greift.
Lemma 4.17. Sei P ein W-Maß auf Γ, dass die Bedingung (Rξ ) für ein ξ > 0 erfüllt. Seien
ρn , n ∈ N, die Korrelationsfunktionen von P. Sei G ∈ Lloc (Γ) und F := K −1 G. Dann gilt Gl. (60)
und die Integrale und die Reihe auf der rechten Seite von Gl. (60) sind absolut konvergent.
Beweis. Sei G ∈ Lloc (Γ) und B ∈ Bb (Rd ) mit G(γ) = G(γ ∩ B) für alle γ ∈ Γ. Sei F := K −1 G.
Aus dem Beweis von Proposition 4.16 ergibt sich, dass F (γ) = 0, wenn γ nicht in B enthalten ist.
Es gilt F (∅) = G(∅) und für γ ∈ Γ0
|F (γ)| = |F (γ)1{γ⊂B} | ≤ sup |G| 2NB (γ) 1{γ⊂B} .
(64)
Γ
Es folgt
|F (∅)| +
Z
∞
X
1
|F ({x1 , . . . , xn })|ρn (x)dx ≤ sup |G| exp 2ξ|B| < ∞,
n! (Rd )n
Γ
n=1
also sind die Integrale und die Reihe absolut konvergent.
2 Siehe
[14].
20
(65)
Janossy-Dichten
Definition 4.18. Sei P ein W-Maß auf Γ. Angenommen, es existiert zu jedem Λ ∈ Bb (Rd ) eine
Familie von Abbildungen jn,Λ , n ∈ N, für die folgendes gilt:
(i) jn,Λ : Λn → [0, ∞) messbar, nichtnegativ
(ii) Für jede lokale messbare Funktion G : Γ → [0, ∞) mit G(γ) = G(γ ∩ Λ) für alle γ ∈ Λ gilt
Z
Z
∞
X
1
G({x1 , . . . , xn })jn,Λ (x1 , . . . , xn )dx1 · · · dxn . (66)
GdP = G(∅)P (NΛ = 0) +
n! Λn
Γ
n=1
Dann heißen die Abbildungen jn,Λ Janossy-Dichten von P und wir sagen, die Janossy-Dichten
existieren.
Satz 4.19. Sei P ein W-Maß auf Γ, das der Bedingung (Rξ ) für ein ξ > 0 genügt. Seien ρn ,
n ∈ N, die n-Punkt-Korrelationsfunktionen. Dann existieren die Janossy-Dichten jn,Λ , n ∈ N,
Λ ∈ Bb (Rd ), und es gilt:
Z
∞
X
(−1)k
jn,Λ (x1 , . . . , xn ) =
ρn+k (x1 , . . . , xn+k )dxn+1 · · · dxn+k
(67)
k!
Λk
k=0
Z
∞
X
1
jn+k,Λ (x1 , . . . , xn+k )dxn+1 · · · dxn+k .
(68)
ρn (x1 , . . . , xn ) =
k! Λk
k=0
Die Summanden für k = 0 sind jeweils als ρn (x1 , . . . , xn ) und jn (x1 , . . . , xn ) zu verstehen.
Die Gleichung (68) ist mit der Definition 2.16 der Korrelationsfunktionen von Gibbsmaßen im
endlichen Volumen zu vergleichen. Gl. (67) ist eine Umkehrformel.
Bemerkung 4.20. Man beachte, dass die Janossy-Dichten jn,Λ von der Wahl des Ausschnitts Λ
abhängen, die Korrelationsfunktionen ρn jedoch nicht.
Beweisskizze zu Satz 4.19. Sei Λ ∈ Bb (Rd ) fest und G : Γ → R eine beschränkte lokale Abbildung
mit G(γ) = G(γ ∩ Λ) für alle γ ∈ Γ. Sei F = K −1 G. Aus dem Beweis von Proposition 4.16 ergibt
sich, dass F (γ) = 0 für alle γ, die nicht vollständig in Λ enthalten sind. Nach Lemma 4.17 und
Gl. (60) gilt daher
Z
Z
∞
X
1
GdP = (K −1 G)(∅) +
(K −1 G)({x1 , . . . , xn })ρn (x1 , . . . , xn )dx
n!
n
Γ
Λ
n=1
Z n
∞
X
X
X
(−1)n−k
1
(−1)n G(∅) +
G({xi1 , . . . , xik }) ρn (x)dx.
= G(∅) +
n! Λn
n!
n=1
k=1 1≤i1 <···<ik ≤n
Man prüft, dass Summationen und Integration vertauscht werden dürfen, verwendet die Symmetrie
der Korrelationsfunktionen und findet
Z
∞
X
(−1)n GdP = G(∅) 1 +
E NΛ (NΛ − 1) · · · (NΛ − n + 1)
n!
Γ
n=1
Z
Z
∞
∞
X
X
(−1)n−k n
+
G(y1 , . . . , yk )
ρn (y1 , . . . , yk , z1 , . . . , zn−k )dz dy
n!
k
k
Λn−k
k=1 Λ
n=k
Z
Z
∞
∞
X 1
X
(−1)`
= G(∅)P(NΛ = 0) +
G(y1 , . . . , yk )
ρn (y, z)dz dy.
k! Λk
`!
Λ`
k=1
`=0
Man zeigt dann mit Hilfe von Approximationsargumenten, dass diese Gleichung auch für nichtnegative, möglicherweise unbeschränkte Abbildungen gilt. Daraus folgen die Existenz der JanossyDichten sowie Gl. (67). Die Gleichung (68) folgt aus Gl. (66) angewendet auf G(γ) = #{(x1 , . . . , xn ) ∈
(γ ∩ Λ)n | x1 , . . . , xn paarweise verschieden}.
21
4.5
Zusammenfassung
• Im unendlichen Volumen wird auf eine Nummerierung der Teilchen verzichtet. Konfigurationen γ sind lokal endliche Teilmengen von Rd . Der Konfigurationsraum Γ ist mit der kleinsten
σ-Algebra versehen, bzgl. der die Zählvariablen messbar sind.
• Für W-Maße auf Γ ist der Begriff der Korrelationsfunktion bzw. faktoriellen Momentenmaße
definiert. Unter der Zusatzbedingung (Rξ ) ist ein W-Maß eindeutig durch seine Korrelationsfunktionen festgelegt.
• Wir arbeiten mit der lokalen Konvergenz von W-Maßen. Für Folgen von W-Maßen auf Γ,
die der Bedingung (Rξ ) genügen, gilt:
– Lokale Konvergenz der W-Maße ist äquivalent zu schwacher Konvergenz der Korrelationsfunktionen im Sinne von Satz 4.11
– Die Folge besitzt eine konvergente Teilfolge.
• Systematisch zwischen W-Maßen auf Γ und Korrelationsfunktionen hin- und herschalten
kann man mit Hilfe der K-Transformation sowie mit Hilfe einer Umkehrformel, die die
Janossy-Dichte über die Korrelationsfunktionen darstellt.
22
A
Ergänzungen zu Kapitel 4
Die lokale Konvergenz ist in der Theorie der Gibbsmaße ein beliebter Konvergenzbegriff, siehe
etwa [8, 19]. In der Theorie der Punktprozesse wird stattdessen oft eher mit der schwachen Konvergenz gearbeitet, vgl. Kapitel 11 in [4]. Dieser Anhang stellt den Zusammenhang zwischen den
beiden Konvergenzbegriffen her. Beweise werden nicht ausgeführt, es sei dem interessierten Leser ans Herz gelegt, diese als Übungsaufgabe und unter Zuhilfenahme der Literatur eigenständig
durchzuführen.
A.1
Metrik auf dem Konfigurationsraum
Der Begriff der schwachen Konvergenz von W-Maßen greift auf topologischen Räumen; daher wird
zunächst ein natürlicher Konvergenzbegriff für Konfigurationen und eine dazu passende Metrik auf
Γ definiert. Sei Cc (Rd ) der Raum der stetigen Funktionen f : Rd → R mit kompaktem Träger (der
Index c steht für compact).
Definition A.1. Sei (γn )n∈N eine Folge in Γ und γ ein weiteres Element aus Γ. Wir sagen, dass
(γn ) gegen γ konvergiert, falls gilt:
X
X
∀f ∈ Cc (Rd ) :
lim
f (x) =
f (x).
n→∞
x∈γn
x∈γ
Beispiel A.2. Seien (an )n∈N und (bn )n∈N zwei Folgen in Rd . Die Folge (an ) sei konvergent mit
Limes a ∈ Rd , für die Folge (bn ) gelte limn→∞ |bn | = ∞. Sei γn := {an , bn }. Dann gilt γn → {a}.
Unser nächstes Ziel ist es, eine zum Konvergenzbegriff passende Metrik d auf Γ zu definieren. Wir
beginnen mit dem Teilraum Γ0 der endlichen Konfigurationen. Sei d0 (∅, ∅) := 0 und d0 (∅, γ) =
d0 (γ, ∅) = NRd (γ) für alle γ ∈ Γ0 . Zu k, ` ∈ N0 und x1 , . . . , xk ∈ Rd , paarweise verschieden wenn
k ≥ 2, und y1 , . . . , y` ∈ Rd , paarweise verschieden wenn ` ≥ 2, sei
(
|k − `|,
k 6= `,
d0 ({x1 , . . . , xk }, {y1 , . . . , y` }) :=
(69)
minσ∈Sk maxj=1,...,k |xj − yσ(j) |,
k = `.
d0 definiert eine Metrik auf dem Teilraum Γ0 der endlichen Konfigurationen. Für allgemeine ζ, γ ∈
E setzen wir
Z ∞
d0 (ζ R , γ R )
dR,
(70)
d(ζ, γ) :=
e−R
1 + d0 (ζ R , γ R )
0
wobei ζ R := ζ ∩ B(0, R), γ R = γ ∩ B(0, R).
Proposition A.3.
(a) d : Γ × Γ → [0, ∞) ist eine Metrik.
(b) Sei γ ∈ Γ und (γn )n∈N eine Folge in Γ. Es gilt γn → γ im Sinne von Definition A.1 genau
dann, wenn d(γn , γ) → 0.
(c) E ist separabel, d.h. es existiert eine abzählbare Teilmenge D ⊂ E, die dicht in E liegt.
(d) Sei B(Γ) die zur Metrik gehörende Borel-σ-Algebra, d.h. die von den offenen Mengen erzeugte
σ-Algebra. Dann gilt B(Γ) = F.
Γ ist nicht vollständig: Sei an = ( n1 , 0, . . . , 0) ∈ Rd und γn := {0, an } ∈ Γ. Dann ist (γn )n∈N eine
Cauchyfolge, aber (γn ) ist in Γ nicht konvergent.
23
A.2
Der Raum der Zählmaße
Ein Maß η auf (Rd , B(Rd )) heißt Zählmaß, falls gilt:
∀B ∈ B(Rd ) :
η(B) ∈ N0 ∪ {∞}.
(71)
η heißt endlich, wenn η(Rd ) < ∞. η heißt lokal endlich, wenn für jede kompakte Teilmenge K ⊂ Rd
gilt: η(K) < ∞. Wenn η lokal endlich ist, dann ist auch für jede beschränkte Borelmenge B ⊂ Rd
η(B) < ∞. Sei N der Raum der lokal endlichen Zählmaße und N0 ⊂ N der Raum der endlichen
Zählmaße.
Lemma A.4.
(a) Sei η ∈ N0 \{0} und n = η(Rd ) ∈ N. Dann existieren x1 , . . . , xn ∈ Rd , so dass η =
P∞
(b) Sei η ∈ N \ N0 . Dann existiert eine Folge (xj )j∈N in Rd , so dass η = j=1 δxj .
Pn
j=1 δxj .
Die Abbildung
ι : Γ → N,
γ 7→ η =
X
δx
(72)
x∈γ
ist injektiv und erfüllt ι(Γ0 ) ⊂ N0 . Es gilt offensichtlich η(B) = NB (γ) wenn η = ι(γ). Als nächstes
erweitern wir die Metrik von E auf N . Zu k, ` ∈ N0 und x1 , . . . , xk ∈ Rd und y1 , . . . , y` ∈ Rd ,
jeweils nicht notwendig paarweise verschieden, sei
(
k
`
X
X
|k − `|,
k 6= `,
d0 (
δxj ,
δyj ) :=
(73)
min
max
|x
−
y
|,
k
= `.
σ∈Sk
j=1,...,k
j
σ(j)
j=1
j=1
Wir vereinbaren, dass die zweite Zeile gleich 0 ist, wenn k = ` = 0, so dass d0 (0, 0) = 0. d0 definiert
eine Metrik auf dem Teilraum N0 der endlichen Zählmaße. Für allgemeine ξ, η ∈ N setzen wir
Z ∞
d0 (ξ R , η R )
dR,
(74)
d(ξ, η) :=
e−R
1 + d0 (ξ R , η R )
0
wobei η R (A) := η(A ∩ B(0, R)), analog für ξ R .
Proposition A.5.
(a) d : N × N → [0, ∞) ist eine Metrik.
(b) Es gilt d(ηn , η) → 0 genau dann, wenn
∀f ∈ Cc (Rd ) :
Z
lim
n→∞
Z
f dηn =
Rd
f dη.
Rd
(c) (N , d) ist vollständig und separabel.
(d) Sei B(N ) die kleinste σ-Algebra, die alle offenen Mengen enthält, und N die kleinste σAlgebra, bzgl. der die Abbildungen η 7→ η(B), B ∈ Bb (Rd ), messbar sind. Dann gilt B(N ) =
N.
Definition A.6. Ein Punktprozess auf Rd ist eine Zufallsvariable mit Werte im messbaren Raum
(N, N).
24
A.3
Schwache Konvergenz von Wahrscheinlichkeitsmaßen
Auf metrischen Räumen steht uns der Begriff der schwachen Konvergenz von W-Maßen zur
Verfügung. Sei (Qn )n∈N eine Folge von W-Maßen auf (N , N). Die Folge heißt schwach konvergent
gegenR das W-Maß Q, wenn für jede stetige beschränkte Funktion F : N → R gilt:
R
F
dQ
→ N F dQ. Notation: Qn * Q.
n
N
Proposition A.7. Sei (Pn )n∈N , eine Folge von W-Maßen auf (Γ, F) und zu n ∈ N sei Qn =
Pn ◦ ι−1 das Bildmaß von Pn bzgl. der Abbildung ι : Γ → N .
(a) Angenommen, (Pn )n∈N konvergiert lokal gegen ein W-Maß P auf (Γ, F). Dann konvergieren
die Bildmaße (Qn ) schwach gegen das Bildmaß P = Q ◦ ι−1 .
(b) Es existiere ein ξ > 0, so dass alle Pn der Bedingung (Rξ ) genügen. Angenommen (Qn )n∈N
konvergiert schwach gegen ein W-Maß Q auf (N , N). Dann existiert ein W-Maß P auf
loc
(Γ, F), so dass Q = P ◦ ι−1 , und es gilt Pn −→ P .
Teil (a) der Proposition besagt, dass aus der lokalen Konvergenz der W-Maße die schwache
Konvergenz folgt. Die Umkehrung ist im allgemeinen falsch, unter der Zusatzvoraussetzung (Rξ )
mit n-unabhängigem ξ jedoch nach Teil (b) der Proposition richtig.
Daraus ergibt sich ein alternativer Beweis von Satz 4.12, der die Anwendung des Satzes von
Alaoglu-Bourbaki umgeht und durch Straffheitskriterien für Punktprozesse bzw. zufällige Maße
[?, 4] ersetzt. Sei (Pn )n∈N eine Folge von W-Maßen auf (Γ, F), die der Bedingung (Rξ ) mit nunabhängigem ξ genügen. Die Strategie ist wie folgt:
• Man folgert aus (Rξ ), dass die Folge der Bildmaße (Qn )n∈N straff ist.
• Da der metrische Raum (N, d) polnisch ist (vollständig & separabel), greift der Satz von
Prohorov: (Qn ) besitzt eine schwach konvergente Teilfolge.
• Mit Hilfe von Proposition A.7(b) schließt man auf die Existenz einer lokal konvergenten
Teilfolge von (Pn ).
Der Umweg über den Raum der Zählmaße wird auch für andere Bedingungen als der RuelleBedingung gegangen, siehe z.B. [13].
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