Mathematik I für Physiker Lösungsvorschlag Blatt 6 Prof. Dr. Andreas Nickel Aufgabe 1 (i) Aus limn→∞ x2n = limn→∞ x2n+1 = x folgt, dass für jedes > 0 natürliche Zahlen N1 und N2 existieren, so dass |x2n − x| < ∀n ≥ N1 und |x2n+1 − x| < ∀n ≥ N2 . Sei nun N := 2 max {N1 , N2 } + 1. Dann ist |xn − x| < ∀n ≥ N. (ii) Setze a := limn→∞ x2n , b := limn→∞ x2n+1 und c := limn→∞ x3n . Die Folge (x6n )n∈N ist sowohl eine Teilfolge von (x2n )n∈N als auch von (x3n )n∈N . Sie ist nach Lemma (10.19) damit selbst konvergent, und der Grenzwert ist sowohl a als auch c. Es gilt also a = c. Betrachtet man die Folge (x3(2n+1) )n∈N , so folgt analog b = c. Die Behauptung folgt nun aus Teil (i). Aufgabe 2 Sei zunächst p ≥ 1. Dann ist an := folgt nun √ n p − 1 ≥ 0. Aus der Bernoulli-Ungleichung p = (1 + an )n ≥ 1 + nan > nan . Damit gilt 0 ≤ an < p/n, also limn→∞ an = 0. √ Sei nun p < 1. Dann ist an := ( n p)−1 − 1 > 0. Aus der Bernoulli-Ungleichung folgt nun wieder p−1 = (1 + an )n ≥ 1 + nan > nan . Daraus folgt 0 ≤ an < 1 pn , also wieder limn→∞ an = 0. Aufgabe 3 (i) Nach Voraussetzung gilt a0 > 0. Per Induktion sehen wir an+1 = 12 (an + apn ) > 0 (da nach Induktionsvoraussetzung an > 0). 2 (ii) Für n ≥ 1 ist 1 p 2 1 p 2 a2n − p = (an−1 + ) − p = (an−1 − ) ≥ 0. 4 an−1 4 an−1 √ Aus (i) folgt an ≥ p. (iii) Nach (ii) gilt 1 p 1 p 1 2 an − an+1 = an − (an + ) = (an − ) = (a − p) ≥ 0. 2 an 2 an 2an n Die Folge (an )n∈N ist also monoton fallend und nach unten beschränkt, also konvergent nach Satz (10.13). (iv) Sei a := limn→∞ an . Nehmen wir in der Gleichung 1 p an+1 = (an + ) 2 an den Limes gegen ∞, so erhalten wir (unter Verwendung von Satz (10.7) und Satz (10.10)) die Gleichung 1 p a = (a + ), 2 a √ also a2 = p. Wegen (ii) folgt a = p. Aufgabe 4 Wir zeigen zunächst den Hinweis. Es folgt induktiv, dass |xn − x| ≤ ( 12 )n−1 |x1 − x|. Also gilt limn→∞ |xn − x| = 0 oder limn→∞ xn = x. √ Setze nun x0 := 1. Wir denieren eine Folge (xn )n∈N durch xn+1 = 1 + xn > 0. Wir müssen zeigen, dass diese Folge konvergiert und den Grenzwert x berechnen. Falls dieser exisitiert, so muss er die Gleichung x2 = x + 1 erfüllen. Da er sicherlich √ auch positiv sein muss, ist x := 12 (1 + 5) unser Kandidat. Wir berechnen √ |1 + xn − x2 | |xn − x| 1 |xn+1 − x| = | 1 + xn − x| = √ =√ ≤ |xn − x|. 2 1 + xn + x 1 + xn + x Hierbei folgt die letzte Ungleichung aus x > 1 und 1 + xn > 1. Aus dem Hinweis folgt nun limn→∞ xn = x.
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