Numerische Lineare Algebra - ¨Ubungsblatt 3

Prof. Dr. Dirk Lebiedz
Dipl.-Math. Jonas unger
Dipl.-Math. oec. Klaus Stolle
Universität Ulm
Institut für Numerische Mathematik
Wintersemester 2015/16
Numerische Lineare Algebra - Übungsblatt 3
Aufgabe 1
(4 + 4 Punkte)
a) Zeigen Sie, dass für n ∈ N und b ∈ N≥2 die Abbildung
ϕ : {0, 1, ..., b − 1}n
→
(a0 , a1 , ..., an−1 ) 7→
{0, 1, ..., bn − 1}
n−1
X
ak bk
k=0
bijektiv ist.
b) Zeigen Sie, dass jede reelle Zahl unter der Bedingung
ak < b − 1 für unendlich viele k ≤ n
eine eindeutige b-adische Entwicklung besitzt.
Aufgabe 2
(6 Punkte)
Zeigen Sie:
Zu zwei beliebigen Normen k · k sowie k · k0 im endlich-dimensionalen Vektorraum V existiert eine Konstante c > 0 so
dass gilt:
1
kxk ≤ kxk0 ≤ ckxk
c
∀x ∈ V.
(Dieser Satz bedeutet, dass alle Normen in endlich-dimensionalen Vektorräumen äquivalent sind.)
Aufgabe 3
(6 Punkte)
Zeigen Sie:
Seien X und Y normierte Räume und sei T : X → Y linear.
Dann sind folgende Aussagen äquivalent:
(i) T ist stetig.
(ii) T ist stetig bei 0.
(iii) Es existiert M ≥ 0 mit
kT xk ≤ M kxk
∀x ∈ X.
(iv) T ist gleichmäßig stetig.

Download Report