Musterlösung zu Blatt 8 Höhere Mathematik II (P/MP/ET/IT/I

Musterlösung zu Blatt 8
Höhere Mathematik II (P/MP/ET/IT/I-I)
Sommersemester 2016
29 a) Berechne die Eigenwerte von A:
λ + 2 −2
χA (λ) = det(λI − A) =
= λ2 − 3λ + 2 = (λ − 1)(λ − 2)
6
λ−5
2
Ein Eigenvektor zu λ1 = 1 ist v1 =
, also Eig(A; 1) = [v1 ], und einer zu λ2 = 2
3
1
ist v2 =
, also Eig(A; 2) = [v2 ].
2
b) Wegen λ1 6= λ2 ist J = diag(1, 2). Die Matrix S hat die Spalten v1 und v2 , also
2 1
2 −1
−1
S =
und S
=
.
3 2
−3
2
Nachrechnen liefert, dass tatsächlich A = SJS −1 gilt.
c) Es gilt
2
A = SJS
−1
SJS
−1
2
= SJ S
−1
=
2 1
3 2
1 0
0 4
2 −1
−3
2
=
−8 6
−18 13
und
3
3
A = SJ S
−1
=
2 1
3 2
1 0
0 8
2 −1
−3
2
2 −1
−3
2
=
−20 14
−42 29
und allgemein:
n
A
n
= SJ S
−1
=
2 1
3 2
1 0
0 2n
=
4 − 3 · 2n 2n+1 − 2
6 − 3 · 2n+1 2n+2 − 3
30 Für eine Linearform T : X → K ist die (Operator-)Norm definiert durch
kT k = sup |T (x)|
kxk≤1
und es gilt:
T stetig
⇔
kT k < ∞ (d.h. T beschränkt)
i) (C 1 [−1, 1], k ksup )
Es sei f ∈ C 1 [−1, 1] mit kf ksup ≤ 1. Dann gilt:
Z 1
|S(f )| = f (t) dt ≤ 2kf ksup ≤ 2
−1
Gleichheit wird für die konstante Funktion f = 1 angenommen. Also ist S
stetig mit kSk = 2.
Desweiteren gilt:
|δ(f )| = |f (0)| ≤ kf ksup ≤ 1
Gleichheit wird für f = 1 angenommen. Also ist δ stetig mit kδk = 1.
1
ii) (C 1 [−1, 1], k kL1 )
Es sei f ∈ C 1 [−1, 1] mit kf kL1 ≤ 1. Dann gilt:
Z 1
Z 1
|S(f )| = f (t) dt ≤
|f (t)| dt = kf kL1 ≤ 1
−1
−1
Gleichheit wird für f = 21 angenommen. Also ist S stetig mit kSk = 1.
Desweiteren ist |δ(f )| = |f (0)| unbeschränkt (betrachte eine geeignete Folge
von Dreiecksfunktionen (fn ) ⊆ C[−1, 1] mit fn (0) = n für n ∈ N und abge”
rundeten Ecken“) und δ somit nicht stetig.
iii) (C 1 [−1, 1], k kL2 )
Es sei f ∈ C 1 [−1, 1] mit kf kL2 ≤ 1. Nach der Schwarzschen Ungleichung (Satz
15.4) gilt
Z
1
Z
1
|f (t)| · 1 dt ≤
kf kL1 =
−1
1/2
√
√
|f (t)| dt
· 2 = 2 · kf kL2
2
−1
und mit ii) folgt:
|S(f )| ≤ kf kL1 ≤
Gleichheit wird für f =
√1
2
√
2 · kf kL2 ≤
√
2
angenommen. Also ist S stetig mit kSk =
√
2.
Desweiteren ist |δ(f )| = |f (0)| unbeschränkt (betrachte eine geeignete Folge
von Dreiecksfunktionen (fn ) ⊆ C[−1, 1] mit fn (0) = n für n ∈ N und abge”
rundeten Ecken“) und δ somit nicht stetig.
iv) (C 1 [−1, 1], k kC 1 )
Es sei f ∈ C 1 [−1, 1] mit kf kC 1 ≤ 1. Dann gilt:
Z 1
|S(f )| = f (t) dt ≤ 2kf ksup ≤ 2kf kC 1 ≤ 2
−1
Gleichheit wird für die konstante Funktion f = 1 angenommen. Also ist S
stetig mit kSk = 2.
Desweiteren gilt:
|δ(f )| = |f (0)| ≤ kf ksup ≤ kf kC 1 ≤ 1
Gleichheit wird für f = 1 angenommen. Also ist δ stetig mit kδk = 1.
31 Für f ∈ C[−1, 1] mit kf ksup ≤ 1 gilt:
|δ(f )| = |2f (−1) − 3f (0) + f (1)| ≤ 2|f (−1)| + 3|f (0)| + |f (1)| ≤ 6
Also ist kδk ≤ 6.
Definiere f ∈ C[−1, 1] durch:
−2x − 1 für − 1 ≤ x ≤ 0
f (x) :=
= 2|x| − 1
2x − 1 für 0 ≤ x ≤ 1
Dann ist kf ksup = 1 und δ(f ) = 6, d.h. es ist kδk = 6.
2
32 a) Berechnung der Inversen von A ergibt:
−1
A
=
5 −7
−2
3
Also ist
κ(A) = kAkZS · kA−1 kZS = 10 · 12 = 120
und
−1
x = A b =
0
1
.
b) Nach (39.1) gilt:
k∆bk∞
0.7
k∆xk∞
≤ κ(A) ·
= 120 ·
= 12
kxk∞
kbk∞
7
c) Es gilt:
−1
x + ∆x = A (b + ∆b) =
5.6
−1.3
.
sawo
3

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