Blatt 4

Uni Stuttgart
Prof. M. Griesemer
Übungsblatt 4 vom 2. Mai
Übungen zur Differentialgeometrie
————————————————SS08————————————————
Aufgabe 12 Es sei c eine Frenet-Kurve im Rn . Man zeige:
0
00
det c , c , . . . , c
(n)
=
n−1
Y
(κi )n−i .
i=1
Aufgabe 13 Die parametrisierte Kurve
c(t) = (cos(2t) + cos t, sin(2t) + sin t),
t ∈ [0, 2π] ,
beschreibt eine so genannte Pascalsche Schnecke. Man berechne die Umlaufzahl Uc
dieser Kurve und auch ihre Scheitelpunkte (d.h. die lokalen Extrema von κ). Kann
man den Vier-Scheitel-Satz anwenden?
Aufgabe 14 Es sei c : [0, L] → R2 eine einfach geschlossene und konvexe Kurve mit
κ ≥ 0. Dann heißt die Kurve cr : [0, L] → R2 , welche durch
cr (s) = c(s) − r · e2 (s)
mit r ≥ 0 gegeben ist, die äußere Parallelkurve (im Abstand r) von c. Man zeige:
1. L(cr ) = L(c) + 2πr (wobei L die Länge einer Kurve bezeichnet).
2. A(cr ) = A(c) + rL(c) + πr2 , wobei A den Inhalt der Fläche bezeichnet, welche
von der jeweiligen Kurve eingeschlossen wird.
3. Es gilt κr =
κ
1+r·κ
für die Krümmung κr von cr .
Bemerkung: Eine einfach geschlossene Kurve heißt konvex, falls das umschlossene
Gebiet der Kurve konvex ist. Dies ist genau dann der Fall, wenn die Krümmung κ
nicht das Vorzeichen wechselt!
Aufgabe 15 Gegeben sei eine einfach geschlossene und streng konvexe (d.h. |κ| > 0)
ebene C 2 -Kurve c(s), so dass der Ursprung im Inneren der von c eingeschlossenen
Fläche liegt. Es gilt dann e2 (s) = (cos(ψ(s), sin(ψ(s)) für eine gewisse stetige Winkelfunktion ψ.
1. Man zeige, dass die Winkelfunktion ψ die Kurve c regulär parametrisiert.
2. Es sei h(ψ) der Abstand zwischen dem Ursprung und der Tangente an c in
dc
c(ψ). Die Funktion h(ψ) heißt Stützabstand. Man drücke | dψ
| in Termen von
h aus.
3. Die Kurve c umschließt ein Gleichdick, falls h(ψ) + h(ψ + π) = d für eine
Konstante d ∈ R. Man zeige, dass der Umfang eines Gleichdicks |πd| beträgt.
4. Beschreibt c ein Gleichdick, so gilt
d=
1
1
+
.
κ(ψ) κ(ψ + π)

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