Mathematische Methoden 2 (für LAK) SS 16

KFU Graz
H. Gausterer, W. Schweiger
Aufgabe 38: Ein Teilchen bewegt sich entlang der Kurve
~r(t) = (e−at cos t, e−at sin t, 0) ,
Mathematische Methoden 2 (für LAK)
SS 16
a > 0.
a) Skizzieren Sie diese Kurve.
7. Übungsblatt (zu rechnen bis zum 9.5.2016)
b) Berechnen Sie den Geschwindigkeitsvektor ~v (t), die Bahngeschwindigkeit v(t) = |~v (t)| und den Beschleunigungsvektor ~a(t).
Aufgabe 34: Berechnen Sie das Volumsintegral
ZZZ
dV (x2 + y 2 )
c) Berechnen Sie die Bogenlänge s(T ), 0 ≤ t ≤ T , für diese Kurve.
V
in Zylinderkoordinaten, wobei das Volumen V durch das Paraboloid
x2 + y 2 = 9 − z und die Ebene z = 0 beschränkt ist.
Aufgabe 35:
a) Bestimmen Sie die Parameterform ~r(t) der Geraden, welche durch den
Punkt Q = (0, 1, 0) geht und in Richtung des Vektors 3~e1 + ~e3 zeigt.
b) Diese Gerade lässt sich auch als Schnittlinie zweier Ebenen auffassen.
Wie lauten die beiden Ebenengleichungen (in impliziter Form a1 x1 + a2 x2 +
a3 x3 = b)?
Aufgabe 36: Finden Sie die Parameterform ~r(u, v) und die Ebenengleichung
(implizite Form a1 x1 + a2 x2 + a3 x3 = b) für die Ebene, welche durch die
Punkte P = (3, 2, −1) und Q = (1, −1, 2) geht und parallel zur Geraden
~r(t) = (1, −1, 0) + t(3, 2, −2) ist.
Aufgabe 39: Es sei
~r(t) = (2t, t2 , ln t)
die Bahn eines Teilchens für t > 0. Finden Sie die Bogenlänge zwischen den
beiden Punkten (2, 1, 0) und (4, 4, ln 2).
Aufgabe 40: Es sei ~r die Bahn, ~v die Geschwindigkeit und ~a die Beschleunigung
eines Teilchens der Masse m. Das Teilchen soll sich nun in einem Kraftfeld F~
~ = m~a(t) zur Anwendung
bewegen, sodass Newtons zweites Gesetz F~ (r(t))
kommt. Zeigen Sie, dass
d
(m~r(t) × ~v (t)) = ~r(t) × F~ (~r(t))
dt
gilt. Was passiert, wenn F~ eine Zentralkraft ist, d.h. F~ (~r(t)) k ~r(t) gilt
(wie es etwa bei der Bewegung von Planeten um die Sonne der Fall ist)?
Benutzen Sie dieses Ergebnis, um Keplers Gesetz zu beweisen, dass die
Bewegung eines Planeten um die Sonne in einer festen Ebene erfolgt.
Aufgabe 37: Ein Kreis mit Radius R rolle entlang der y-Achse, sodass sich sein
Mittelpunkt mit der Geschwindigkeit v bewegt. Wie sieht die Parameterdarstellung der Bahn eines Punktes aus, der auf dem Kreisumfang sitzt und
sich zum Zeitpunkt t = 0 im Ursprung befindet?.
7
6
5
4
3
2
1
0.5 1 1.5 2
9
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