Analysis 2 - Universität Leipzig

Universität Leipzig
03.05.2016
Analysis 2
Sommersemester 2016
Aufgaben, Blatt Nr. 4
Aufgaben 4-1 ,4-2 ,4-3 korrigiert
Abgabe: Dienstag, 10.05.2016 vor der Vorlesung, bitte Namen,
Matrikelnummer und Übungsgruppenzeit angeben!
Abgabe in Gruppen bis zu vier Studierenden möglich, dabei muss jede/r
Studierende mindestens eine Aufgabe verfaßt haben und alle vier Namen
mit Matrikelnummer und Übungsgruppenzeit angegeben sein!
4-1 Eine Funktion f : X → R auf dem topologischen Raum X heißt
halbstetig von unten, wenn für jedes a ∈ R die Menge {x ∈ X; f (x) >
a} offen in X ist. Beweisen Sie: Wenn X kompakt ist, dann nimmt
jede von unten halbstetige Funktion f : X −→ R ihr Minimum an.
(D.h. es gibt ein x0 ∈ X mit f (x0 ) = inf{f (x); x ∈ X}.)
4-2 Gegeben ist die Kurve c : [0, 1] −→ R2 ; c(t) = t, t2 .
Bestimmen Sie die Länge der Kurve.
4-3 Gegeben ist die Kurve c : [0, ∞) −→ R2 ,
c(t) = exp(−at) (cos(bt), sin(bt)) .
(a) Skizzieren Sie die Kurve und bestimmen Sie die Länge der Kurve.
(b) Bestimmen Sie den Winkel zwischen dem Tangentialvektor c0 (t)
und dem Vektor c(t).
(dies ist der Winkel, unter dem man den Urspung (0, 0) von der
Kurve aus sieht.)
4-4 Untersuchen Sie, ob die Kurve c : [0, 1] −→ R2 :

 (t, t · sin (π/t)) ; t ∈ (0, 1]
c(t) =
,

(0, 0)
;
t=0
stetig, rektifizierbar bzw. (stetig) differenzierbar ist.
Prof. Dr. Hans-Bert Rademacher
www.math.uni-leipzig.de/~rademacher/Analysis2.html

Download Report