Prof. Dr. I. Steinwart Dr. R. Walker Dr. D. Zimmermann M.Sc. A. Reiswich Universität Stuttgart Fachbereich Mathematik Blatt 6 Höhere Mathematik II 27.05.16 el, kyb, mecha, phys Gruppenübungen Abgabe der schriftlichen Aufgaben und Besprechung der Votieraufgaben am 27.05.2016 in den Übungsgruppen. Aufgabe 26. (schriftlich) Gegeben seien die linearen Abbildungen S R3 mit den zugehörigen Abbildungsmatrizen −1 2 3 −1 0 −2 0 1 2 S T 2 1 1 , E3 ME4 = E4 ME3 = −2 1 0 3 2 0 4 −3 −2 : R3 → R4 und T : R4 → 4 −3 . −2 Bestimmen Sie Ker S , rang S , rang T und dim(Ker T ). Aufgabe 27. Bestimmen Sie jeweils die Determinanten Laplace’schen Entwicklungssatzes. 1 −2 0 1 −2 0 1 2 0 1 2 2 , 0 2 −1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 der folgenden Matrizen mit Hilfe des 1 0 0 0 0 1 . 0 −1 0 0 Aufgabe 28. Berechnen Sie die Determinanten der folgenden Matrizen mit Hilfe der Sarrus-Regel. 2 −1 2 3 1 −1 2 3 1 , 2 0 1 . −1 1 2 −1 1 −3 1 Aufgabe 29. Gegeben sei A ∈ R3×3 mit 2 1 −1 A = 1 1 2 . −2 2 1 (a) Es sei ej der j -te Einheitsvektor des R3 . Bestimmen Sie für j = 1, 2, 3 jeweils die Lösung des linearen Gleichungssystems Ax = ej , mit Hilfe der Cramer’schen Regel. (b) Benutzen Sie (a), um die Inverse A−1 von A zu bestimmen. Aufgabe 30. Es seien A = (aij ) ∈ Rn×n , B = verwenden die Blockmatrix-Schreibweise a11 . . . a1n c11 .. .. .. . . . A C . . . ann cn1 a := n1 O B 0 . . . 0 b11 . .. .. .. . . 0 . . . 0 bm1 (bij ) ∈ Rm×m und C = (cij ) ∈ Rn×m . Wir c1m .. . . . . cnm ∈ R(n+m)×(n+m) . . . . b1m .. . . . . bmm ... Zeigen Sie, dass gilt A C det O B = det A · det B. 2
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