Musterlösung zu Blatt 7 Höhere Mathematik II (P/MP/ET/IT/I-I) Sommersemester 2016 25 Es sei v 6= 0 ein Eigenvektor zu λ, d.h. es ist Av = λv. a) Es gilt: Ak v = Ak−1 Av = Ak−1 λv = λAk−1 v = . . . = λk v Also ist λk Eigenwert von Ak . b) Ist A invertierbar, so gilt λ 6= 0 und es folgt: Av = λv ⇔ v = A−1 λv = λA−1 v ⇔ λ−1 v = A−1 v Also ist λ−1 Eigenwert von A−1 . 26 a) Mit der Regel von Sarrus ergibt sich: λ−5 3 3 χA (λ) = det(λI − A) = det −2 λ 2 = λ3 − 5λ2 + 8λ − 4 −2 2 λ Probieren der Teiler des konstanten Summanden liefert λ1 = 1 als Nullstelle. Polynomdivision ergibt dann λ3 − 5λ2 + 8λ − 4 = (λ − 1)(λ2 − 4λ + 4) = (λ − 1)(λ − 2)2 und somit λ2,3 = 2. Berechne die Eigenvektoren zu λ1 = 1: −4 3 −2 1 −2 2 3 ← 2 ·(−2) ↑ ·(−1) ↓ 1 ← 0 1 −1 −2 1 2 0 1 −1 Also ist 3 E(A; 1) = 2 = V (A; 1) . 2 Berechne die Eigenvektoren zu λ2,3 = 2: −3 3 3 −2 2 2 −2 2 2 Also ist 1 1 E(A; 2) = 1 , 0 = V (A; 2) . 1 0 1 b) Mit der Regel von Sarrus ergibt sich: λ−5 1 5 3 = λ3 − 5λ2 + 8λ − 4 χB (λ) = det(λI − B) = det −2 λ − 1 −2 1 λ+1 Wie in Teil a) ist λ1 = 1 und λ2,3 = 2. Berechne die Eigenvektoren zu λ1 = 1: −4 1 −2 0 −2 1 5 ← 3 ·(−2) ↑ ·(−1) ↓ 2 ← 0 1 −1 −2 0 3 0 1 −1 Also ist 3 E(B; 1) = 2 = V (B, 1) . 2 Berechne die Eigenvektoren zu λ2,3 = 2: −3 1 5 ← −2 1 3 ·(−1) ↑ ·(−1) ↓ −2 1 3 ← −1 0 2 −2 1 3 0 0 0 Also ist 2 E(B; 2) = 1 . 1 Zur Bestimmung des Hauptraums −3 1 5 −2 1 3 −2 1 3 Also ist berechne (2I − B)2 : −3 1 5 −3 3 3 −2 1 3 = −2 2 2 −2 1 3 −2 2 2 2 1 V (B; 2) = 1 , 1 . 1 0 c) Entwickeln der Determinante nach der dritten Zeile ergibt: λ − 1 −1 −1 λ − 3 −1 χC (λ) = det(λI − C) = det 1 0 0 λ−2 λ − 1 −1 = (λ − 2) det 1 λ−3 = (λ − 2)(λ2 − 4λ + 4) = (λ − 2)3 2 Also ist λ1,2,3 = 2. Berechne die zugehörigen Eigenvektoren: 1 −1 −1 1 −1 −1 0 0 0 Also ist 1 1 1 , 0 E(C; 2) = 0 1 und V (C; 2) = R3 . 27 Entwickeln der Determinante nach der ersten Zeile ergibt: λ+3 0 0 χA (λ) = det(λI − A) = det −2a λ − b −a −10 0 λ−2 λ − b −a = (λ + 3) det 0 λ−2 = (λ + 3)(λ − b)(λ − 2) Also ist λ1 = −3, λ2 = b, λ3 = 2. 1. Fall: b 6= −3 und b 6= 2 Dann sind alle drei Eigenwerte einfach und A somit nach Folgerung 36.12 diagonalisierbar. 2. Fall: b = −3 A ist nach Satz 36.13 b) genau dann diagonalisierbar, wenn dim E(A; −3) = 2. Es ist 0 0 0 −3I − A = −2a 0 −a −10 0 −5 und somit A für jedes a ∈ R diagonalisierbar, da die zweite Zeile stets ein Vielfaches der dritten ist. 3. Fall: b = 2 A ist nach Satz 36.13 b) genau dann diagonalisierbar, wenn dim E(A; 2) = 2. Es ist 5 0 0 2I − A = −2a 0 −a −10 0 0 und somit A genau dann diagonalisierbar, wenn a = 0. 28 a) Wegen R−1 0S = 0 für beliebige Matrizen R, S ∈ GLR (2) ist 0 nur zu sich selbst äquivalent bzw. ähnlich. b) Nach Satz 35.10 ist eine Matrix genau dann äquivalent zu E2 , wenn sie Rang zwei hat, d.h. wenn sie invertierbar ist. Wegen S −1 E2 S = E2 für eine beliebige Matrix S ∈ GLR (2) ist E2 nur zu sich selbst ähnlich. 3 c) Nach Satz 35.10 ist eine Matrix genau dann äquivalent zur angegebenen Matrix, wenn sie Rang zwei hat, d.h. wenn sie invertierbar ist. a b Nach 36.10 ist A = genau dann ähnlich zur angegebenen Matrix, wenn A c d diagonalisierbar ist mit Eigenwerten 1 und 2, d.h. wenn gilt ! det(λI − A) = λ2 − (a + d)λ + ad − bc = λ2 − 3λ + 2 = (λ − 1)(λ − 2) , also wenn a + d = 3 und ad − bc = 2. Bemerkung: Eine Matrix ist also genau dann ähnlich zur angegebenen Matrix, wenn sie die gleiche Spur und die gleiche Determinante besitzt. sawo 4
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