¨Ubungsblatt 12

Übungsblatt 12
Lineare Algebra I, SoSe 2016
Dr. Matthias Köhne, Dr. Benno Kuckuck
Ausgabe: Di., 28.06.2016, Abgabe: Di., 05.07.2016
Aufgabe 48: (Determinanten)
Betrachten Sie das lineare Gleichungssystem Betrachten Sie die Matrizen

1 −2
0


A= 0
2

1  ∈ R33
−1
1
2

und
[1]n [−2]n
[0]n
[14 Punkte]


An =  [0]n
[2]n

[1]n  ∈ (Zn )33
[−1]n
[1]n
[2]n
für n ∈ { 3, 5 }.
Berechnen Sie det(A), det(A3 ) und det(A5 ) jeweils
(a) Durch Anwendung der Sarrus’schen Regel;
(b) Durch Umformung der Matrix in eine obere Dreiecksmatrix;
(c) Durch Anwendung des Laplace’schen Entwicklungssatzes, wobei Sie nach einer Zeile oder Spalte Ihrer Wahl
entwickeln können.
Welche der Matrizen sind invertierbar?
Hinweis: Vergleichen Sie Ihre Ergebnisse auch mit denen von Aufgabe 45.
Aufgabe 49: (Cramer’sche Regel)
Betrachten Sie das lineare Gleichungssystem
[12 Punkte]
3x1 + x2
=
6,
2x1 + 4x2 − 2x3 = −2,
x2 + 5x3 =
4.
Bestimmen Sie die Lösung x1 , x2 , x3 ∈ R einmal durch Anwendung des Gauß’schen Algorithmus und einmal
durch Anwendung der Cramer’schen Regel.
Aufgabe 50: (Laplace’scher Entwicklungssatz)
Für n ∈ N sei

1 2

 1 2


 1 2

 . .
An = 
 .. ..

 1 2


 1 2

1
0
[8 Punkte]
3 ··· n − 1 n


3 ··· n − 1 0 


3 ··· 0
0 

..
.. 
.. . .
n

.
.  ∈ Rn .
. .

3 ··· 0
0 


0 ··· 0
0 

0 ··· 0
0
Berechnen Sie zunächst det(An ) für n = 1, 2, 3, 4 und geben Sie dann eine explizite Formel für det(An ) für
n ∈ N an. Zeigen Sie, dass Ihre Formel korrekt ist.
Hinweis: Argumentieren Sie per Induktion unter Ausnutzung des Laplace’schen Entwicklungssatzes.
Aufgabe 51: (Schiefsymmetrische Matrizen)
[6 Punkte]
Seien F ein Körper und n ∈ N ungerade. Sei A ∈ Fnn mit A∗ = −A. Zeigen Sie, dass dann det(A) = 0 folgt, es
sei denn, 1 + 1 = 0 in F .

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