Tutoriumsblatt 4

MATHEMATISCHES INSTITUT
DER UNIVERSITÄT MÜNCHEN
SoSe 2016
Tutorium zur Vorlesung Lineare Algebra Lehramt
Priv.-Doz. Dr. Heribert Zenk
Blatt 4
Aufgabe 1: Gegeben seien die beiden Matrizen


1 2 3 9
2 6 6 9 

A=
3 5 12 27
0 0 0 4


7 14 48
B = 2 4 15
9 18 56
Bestimmen Sie
a) die inversen Matrizen A−1 , B −1 , falls diese existieren,
b) die Determinanten det A und det B, indem Sie A und B auf Form von oberen Dreiecksmatrizen bringen,
c) die Determinanten det A−1 und det B −1 der inversen Matrizen, falls diese existieren.
Aufgabe 2:
Die Determinante mag Ihnen relativ abstrakt vorkommen, sie trägt jedoch eine geometrische
Bedeutung. Beim Wechsel von Koordinatensystemen wird Ihnen die Jacobi-Determinante begegnen, die Sie (bzw. die Physiker unter Ihnen) möglicherweise schon als ’Verzerrungselement’
kennen. Wir betrachten den Ursprung dieser Idee.
a) Zeigen Sie, dass zwei linear unabhängige und von null verschiedene Vektoren a, b ∈ R2
ein Parallelogramm in der Ebene aufspannen, dessen Flächeninhalt durch
T a vol2 (a, b) = det T b
gegeben ist (hierbei dürfen Sie grundlegende geometrische Überlegungen anstellen und
benutzen, dass die Fläche eines Rechtecks mit Seitenlängen x und y gleich x · y ist).
b) Auch drei linear unabhängige und von null verschiedene Vektoren a, b, c ∈ R3 spannen
ein Parallelepiped im Raum auf, dessen Volumen durch
 T 
a 
(1)
vol3 (a, b, c) = det bT 
cT gegeben ist. Versuchen Sie nachzuvollziehen, dass durch (1) tatsächlich ein Volumen
gegeben ist, indem Sie (1) auf folgende Eigenschaften hin überprüfen:
• Liegt c in der von a und b aufgespannten Ebene, so verschwindet das Volumen
• Streckung von c mit λ ∈ R führt zum λ-fachen Volumen
• Das Volumen des Einheitswürfels ist 1
c) Das Kreuzprodukt × : R3 × R3 → R3 ist definiert durch
    

x1
y1
x 2 y3 − x 3 y2
x2  × y2  = x3 y1 − x1 y3 
x3
y3
x 1 y2 − x 2 y1
Zeigen Sie, dass sich (1) aus Aufgabenteil b) auch schreiben lässt als
vol3 (a, b, c) = | (a × b) · c |
wobei · das euklidsche Skalarprodukt bezeichnet. Der Ausdruck (a × b) · c ≡ a · (b × c)
wird auch als Spatprodukt bezeichnet.
Aufgabenblätter und Informationen finden Sie unter:
http://www.mathematik.uni-muenchen.de/∼zenk/ss16/

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