Blatt 13

Übungsblatt 13
Lineare Algebra I, SoSe 2016
Dr. Matthias Köhne, Dr. Benno Kuckuck
Ausgabe: Di., 05.07.2016, Abgabe: Do., 14.07.2016
Aufgabe 52: (Cramer’sche Regel für inverse Matrizen)
Betrachten Sie die Matrizen




1 0 0 2
[1]n [0]n [0]n [2]n




 [2]n [1]n [0]n [0]n 
2 1 0 0
4


 ∈ R44
und
A
=
A=
n
 [3] [2] [1] [0]  ∈ (Zn )4
3 2 1 0
 n
n
n
n


[12 Punkte]
für n ∈ { 3, 5 }.
[4]n [3]n [2]n [1]n
4 3 2 1
Berechnen Sie det(A), det(A3 ) und det(A5 ). Entscheiden Sie, welche dieser Matrizen invertierbar sind, und
berechnen Sie ggf. (A−1 )23 bzw. (A−1
n )23 für n ∈ { 3, 5 }.
Aufgabe 53: (Eigenwerte, Vielfachheiten, Trigonalisierbarkeit, Diagonalisierbarkeit)
Betrachten Sie die Matrizen





1 −1
2
−1
1
0 0





3
3
3 −2  ∈ R3
0 1  ∈ R3 ,
B = 1
und
C =  −4
A = 0
2
0
5

0  ∈ R33 .
−2
1
3
0 −1
0
0
0
1
[12 Punkte]

Bestimmen Sie jeweils das charakteristische Polynom, die (reellen) Eigenwerte und die algebraischen und geometrischen Vielfachheiten der Eigenwerte. Entscheiden Sie, ob die Matrizen über R trigonalisierbar bzw. diagonalisierbar sind.
Aufgabe 54: (Eigenwerte, Eigenräume, Diagonalisierbarkeit)
Betrachten Sie die Matrix


4 2
5


A =  −1 1 −5  ∈ R33 .
0
0
[10 Punkte]
3
Bestimmen Sie die (reellen) Eigenwerte und Basen der zugehörigen Eigenräume. Zeigen Sie, dass A über R
diagonalisierbar ist, und finden Sie T ∈ R33 so, dass T −1 AT eine Diagonalmatrix ist.
Aufgabe 55: (Parallelogrammgleichung)
[6 Punkte]
Seien X ein R-linearer Raum und k · k : X −→ [0, ∞) eine Norm auf X, die die Parallelogrammgleichung
kx + yk2 + kx − yk2 = 2(kxk2 + kyk2 ),
x, y ∈ X,
p
erfüllt. Zeigen Sie, dass ein Skalarprodukt h·, ·i : X × X −→ R existiert mit kxk = hx, xi für alle x ∈ X.
Hinweis: Betrachten Sie den Ansatz hx, yi = 41 (kx+yk2 −kx−yk2 ) für x, y ∈ X. Um für diese Aufgabe die volle
Punktzahl zu erreichen, ist es ausreichend, wenn Sie die Eigenschaften 5.3.1 (a) (i)–(iii) und die Eigenschaft
5.3.1 (a) (iv) für α = β = 1 nachweisen.

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