Für n = 1,2 ist offenbar nichts zu zeigen, da in diesem Falle ja |S n

F10-T3-A3
Bestimmen Sie alle natürlichen Zahlen n derart, dass die symmetrische Gruppe Sn eine
Untergruppe mit Index 3 hat.
Lösungsvorschlag. Für n = 1, 2 ist offenbar nichts zu zeigen, da in diesem Falle ja |Sn | < 3
gilt. Für S3 hat die von einer beliebigen Transposition aufgespannte Untergruppe den
Index 3 und für S4 ist eine Diedergruppe wie beispielsweise D4 := h(1, 2, 3, 4), (1, 3)i eine
Untergruppe mit 8 Elementen und damit Index 3. Für n ≥ 5 wollen wir zeigen, dass es
keine Untergruppe mit Index 3 geben kann und argumentieren dazu folgendermaßen:
Angenommen, U ist eine Untergruppe von Sn mit [Sn : U ] = 3. Dann betrachten wir die
Wirkung von Sn auf der Menge der (Links-)Nebenklassen Sn /U durch Linkstranslation,
also
Sn × Sn /U → Sn /U
(σ, τ U ) 7→ (στ )U
Dieser entspricht bekanntlich (vgl. Übungen) einem Gruppenmorphismus Sn → S|Sn /U | =
S3 . Wir betrachten die Komposition
ϕ : An → Sn → S3 .
Da ker(ϕ) ein Normalteiler in An ist und An für n ≥ 5 einfach ist, folgt also ker(ϕ) = {Id}
oder ker(ϕ) = An . Wegen |An | = n!/2 > 6 = |S3 | für n ≥ 5 kann ϕ nicht injektiv sein,
ker(ϕ) = {Id} fällt also aus. Damit gilt also ker(ϕ) = An . Nun beobachten wir noch, dass
ker(ϕ) ⊂ U gilt, da ja für ein σ ∈ ker(ϕ) gilt σ(τ U ) = τ U für alle τ , also insbesondere
σU = U , was bedeutet σ ∈ U . Es würde also insgesamt gelten
2 = [Sn : An ] = [Sn : U ][U : An ] = 3 · [U : An ] ≥ 3
1
.

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