Universität Stuttgart Fachbereich Mathematik Höhere Mathematik II

Prof. Dr. I. Steinwart
Dr. R. Walker
Dr. D. Zimmermann
M.Sc. A. Reiswich
Universität Stuttgart
Fachbereich Mathematik
Blatt 6
Höhere Mathematik II
12.05.16
el, kyb, mecha, phys
Vortragsübungen
Aufgabe 20. Gegeben sei die Matrix


3
0
−1
0
−3 2
1
1 
,
A=
 0 −2 1 + α
−1 
6
0
−2 α2 − 1
wobei
α ∈ R.
(a) Für welche Werte von α hat A den Rang 2, 3 bzw. 4?
(b) Welche Dimension hat der Kern der linearen Abbildung x 7→ Ax, von R4 nach R4 für
α = −1?
Aufgabe 21. Gegeben seien die Matrizen


a
1
0 0
 0
a
2 1

A=
−a a − 1 4 −1
2a
2
0 −1

und
2
0
B=
0
0

5 3 −1
2 2 −2

0 −1 2 
0 0
3
mit a ∈ R.
(a) Berechnen Sie det(A), det(A4 ), det(B), det(AB) und det(βA), wobei β ∈ R.
(b) Für welche Werte von a ist A invertierbar?
Aufgabe 22. Für die n × n-Matrix A, sei durch Ax = b ein lineares Gleichungssystem gegeben,
mit x, b ∈ Rn . Weiter sei vorausgesetzt, dass A invertierbar ist. Beweisen Sie die Cramersche
Regel, die besagt, dass die i-te Komponente des Lösungsvektors durch
xi =
det(Ai )
det(A)
gegeben ist, wobei Ai die Matrix ist, die man erhält, wenn man in der Matrix A die i-te Spalte
durch den Vektor b ersetzt.
Aufgabe 23. Gegeben sei die lineare Abbildung A : V → V , wobei V ein Vektorraum ist, für
den zwei Basen B und B 0 gegeben seien. Man zeige, dass die darstellenden Matrizen B MA
B und
A
B0 MB0 die gleiche Determinante haben.
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