Handout Vorkurs Mathematik

Propädeutikum Mathematik
Organisatorisches
• Veranstaltungen
– Montag, 10.10.16, 09:00-16:00, HS 7
– Dienstag, 11.10.16, 09:00-16:00, HS 7
– Mittowch, 12.10.16, 09:00-11:00, HS 7
• Kontakt
Mario Brandtner
Lehrstuhl für Finanzierung, Banken und Risikomanangement
Carl-Zeiss-Str. 3, Raum 4.22
E-Mail: [email protected]
Literatur
Pfuff, F. (2009): Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler kompakt, Vieweg+Teubner,
Wiesbaden
Purkert, W. (2011): Brückenkurs Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler, 7. Auflage,
Vieweg+Teubner, Wiesbaden
Pampel, T. (2010): Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler, Springer, Berlin Heidelberg
Dietz, H. (2012): Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler, 2. Auflage, Springer Gabler,
Berlin Heidelberg
Gliederung der Veranstaltung
1. Funktionen einer reellen Variablen
1.1 Funktionen
Funktionsbegriff – affin lineare Funktionen, Exponentialfunktionen, Logarithmusfunktionen, Betragsfunktion, Vorzeichenfunktion – Translation und Spiegelung von
Funktionen
1.2 Eigenschaften von Funktionen
Monotonie – Krümmung – Bijektivität und Umkehrfunktionen – Stetigkeit
1.3 Differentiation von Funktionen
1
Differenzierbarkeit – Ableitungen höherer Ordnung – Ableitungsregeln
1.4 Untersuchung von Funktionen mit Hilfe der Ableitung
Monotonie – Krümmung – lokale Minima und Maxima
2. Funktionen mehrer reeller Variablen
2.1 Funktionen
2.2 Partielle Ableitung
partielle Ableitungen – partielle Ableitungen höherer Ordnung – Verschiebungssatz
von Schwarz
3. Anwendungen der Differentialrechnung
3.1 Totales Differential
eine Veränderliche – mehrere Veränderliche – Grenzrate der Substitution
3.2 Gradient und Hessematrix
3.3 Extemwertaufgaben
3.4 Extremwertaufgaben mit Nebenbedingungen
4. Integralrechnung
4.1 Das unbestimmte Integral
unbestimmtes Integral – Integrationsregeln
4.2 Das bestimmte Integral
4.3 Uneigentliche Integrale
4.4 Mehrfachintegrale
4.5 Parameterabhängige Integrale
5. Matrizen
5.1 Grundlagen
5.2 Rechenoperationen für Matrizen
Addition – Multiplikation mit Skalar – Skalarmultiplikation – Matrizenmultiplikation
5.3 Inverse Matrizen
5.4 Determinaten
5.5 Lineare Gleichungssysteme
Lösungsverfahren nach Gauss – Lösung mit Hilfe von Determinanten – Lösung mit
Hilfe von inversen Matrizen
2
Aufgabe 1)
Bestimmen Sie den größtmöglichen Definitionsbereich und Wertebereich der folgenden
Funktionen und skizzieren Sie den Graphen.
a) f (x) = − ln(x − 2)
b) f (x) = ex−1 + 1
Aufgabe 2)
Welche der folgenden Funktionen sind bijektiv? Bestimmen Sie gegebenenfalls die inverse
Funktion f −1 .
a) f (x) = x2
b) f (x) = ax , a > 0, a 6= 1
Aufgabe 3)
Untersuchen Sie, ob die Funktion f (x) = sgn(x) stetig ist.
Aufgabe 4)
Untersuchen Sie, ob die folgenden Funktionen differenzierbar sind.
a) f (x) = m · x + n
b) f (x) = x2
c) f (x) = |x|
Aufgabe 5)
Bestimmen Sie die Ableitungen der folgenden Funktionen.
a) f (x) = 3x + x3
b) f (x) = xn · ex
c) f (x) = ln(x2 + 1)
d) f (x) =
ex
2x
Aufgabe 6)
Untersuchen Sie die Funktion f (x) = x3 − 3 · x2 − 9 · x auf lokale Extremwerte und
beschreiben Sie das Monotonie- und Krümmungsverhalten.
3
Aufgabe 7)
Bestimmen Sie alle partiellen Ableitungen 1. und 2. Ordnung.
√
2
a) f (x, y) = y · x − xy + 2 · x
2
b) f (x1 , x2 , x3 ) = x1 · ex2 + x2 · x3
Aufgabe 8)
Sei y = f (x) =
√
x eine Produktionsfunktion, die den Zusammenhang zwischen dem
Input x und dem Produktionsoutput y angibt. Bestimmen Sie mit Hilfe des totalen
Differentials und der exakten Methode, wie sich die Ausweitung der Inpuktfaktormenge
x0 = 4 um ∆x = 1 auf den Output auswirkt.
Aufgabe 9)
Sei z = f (x, y) =
√
x · y eine Produktionsfunktion, die den Zusammenhang zwischen dem
Input (x, y) und dem Produktionsoutput z angibt. Bestimmen Sie mit Hilfe des totalen
Differentials und der exakten Methode, wie sich die Ausweitung der Inputfaktormenge
(x0 , y0 ) = (8, 2) um ∆x = 1 und ∆y = 2 auf den Output auswirkt. Wie hoch ist die
Grenzrate der Substitution bei (x0 , y0 ) = (8, 2).
Aufgabe 10)
Bestimmen Sie die lokalen Extrema der Funktion f (x, y) = ex · (x2 + y 2 ) und entscheiden
Sie, ob es sich um Maxima oder Minima handelt.
Aufgabe 11)
Sei z = f (x, y) = x · y eine Produktionsfunktion die den Zusammenhang zwischen dem
Input (x, y) und dem Produktionsoutput z angibt. Bestimmen Sie die outputmaximierende
Aufteilung der Produktionsfaktoren, wenn die Bugetrestriktion durch x + y = a gegeben
ist.
Aufgabe 12)
Bestimmen Sie die folgenden unbestimmten, bestimmten bzw. uneigentlichen Integrale.
R
√
a) ex + xdx
R
b) x · e3·x dx
R 2
c) x3x−7 dx
Re
d) 1 ln xdx
R∞
e) 0 λ · e−λ·x dx
4
Aufgabe 13)
Bestimmen Sie die Ableitungen der folgenden Funktionen.
Rx
a) g(x) = 0 f (t)dt
R 2·x
b) g(x) = x ex·t dt
Aufgabe 14)
Gegeben sind die Matrizen A und B sowie der Vektor x durch

1
3

A =  −1
0
0


−2
3
1


Bestimmen Sie 3A + 2B, AB, BA, Bx und BAx.
Aufgabe 15)
Gegeben sind die Matrizen A und B durch
A=
3 2
2 1


, B=
1
3
2


3 .
−3 −8 −4
2
5
Bestimmen Sie jeweils die inversen Matrizen und die Determinanten.
Aufgabe 16)
Lösen Sie das Gleichungssystem
2x1 + 2x2 + 4x3 = 4
x1 + x2 − 2x3 = 2
3x1 − x2 + 4x3 = 0
mit Hilfe des Gauss-Verfahrens.
5


 
1 −3 −2  , x =  3  .
0
0
1
5


2 , B = 
1 −1 −2
!
1

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