UNIVERSITÄT DES SAARLANDES Fachrichtung Mathematik Prof. Dr. Mark Groves Benedikt Hewer Lineare Algebra 1, WS 2016/17 Übungsblatt 10 1. Für welche Werte von λ und µ haben die folgenden reellen linearen Gleichungssysteme keine Lösung, eine eindeutige Lösung, unendlich viele Lösungen? Interpretieren Sie Ihre Ergebnisse geometrisch. (a) (b) 2x + 3y + z = 5, 3x − y + λz = 2, x + 7y − 6z = µ x + y − 4z = 0, 2x + 3y + z = 1, 4x + 7y + λz = µ 2. Finden Sie alle reellen nichttrivialen Lösungen der Gleichungen 2x1 − 3x2 − x3 + x4 = 0, 3x1 + 4x2 − 4x3 − 3x4 = 0, 17x2 − 5x3 − 9x4 = 0. Zeigen Sie ferner, dass eine dieser Lösungen auch die Gleichungen x1 + x2 + x3 + x4 + 1 = 0, x 1 − x2 − x3 − x4 − 3 = 0 löst, aber keine sich als lineare Kombination der Vektoren (0, 1, 2, 3) und (3, 2, 1, 0) darstellen lässt. 3. Zeigen Sie, dass a2 + 1 ab ac b2 + 1 bc = a2 + b2 + c2 + 1. det ab ac bc c2 + 1 4. Beweisen Sie durch Induktion, dass 1 x1 · · · 1 x2 · · · det .. .. . . 1 xn · · · x1n−1 x2n−1 .. = . xnn−1 (Dies ist die Vandermonde-Determinante.) Y (xj − xi ). 1≤i<j≤n 5. Es sei An = 1 −1 0 0 ··· 0 1 1 −1 0 ··· 0 0 4 1 −1 ··· 0 .. .. .. . . .. .. . . . . . . 0 0 0 ··· 1 −1 0 0 0 · · · (n−1)2 1 , n = 1, 2, 3, . . . . Bestimmen Sie det(A1 ) und det(A2 ), finden Sie eine Formel für det(An ) für n ≥ 3 als Funktion von det(An−1 ) und det(An−2 ) und beweisen Sie durch starke Induktion, dass det(An ) = n!, n = 1, 2, 3, . . . . 6. Es sei K ein Körper. Die Spur einer Matrix in K n×n ist die Summe ihrer Hauptdiagonalenelemente. (a) Zeigen Sie, dass Spur AB = Spur BA, det AB = det A det B für alle A, B ∈ K n×n . (b) Zwei Matrizen in A, B = K n×n heißen ähnlich, falls es P ∈ GL(n, K) mit B = P −1 AP gibt. Zeigen Sie, dass zwei ähnliche Matrizen dieselbe Spur sowie dieselbe Determinante haben. (c) Es sei V ein n-dimensionaler Vektorraum über K. Wie würden Sie die Spur und die Determinante einer linearen Abbildung T : V → V definieren?
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